Question

【題目】如圖1，以為直徑作半圓，點(diǎn)在半圓上，連結(jié)，，且.連結(jié)，是邊上的高，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn).

（1）求證：.

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求的值.

（3）如圖2，取的中點(diǎn)，連結(jié).

①若，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)四邊形的其中一邊長(zhǎng)是的2倍時(shí)，求所有滿足條件的長(zhǎng).

②連結(jié)，當(dāng)的面積是的面積的3倍時(shí)，求的值（請(qǐng)直接寫出答案）.

圖1圖2

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①當(dāng)或時(shí)，四邊形其中一邊長(zhǎng)為的2倍；②

【解析】

（1）先證明 再證明，從而可得結(jié)論；

（2）先證明是等邊三角形，再證明，利用銳角三角函數(shù)可得結(jié)論；（3）①分情況討論：i當(dāng)，ii當(dāng)，iii當(dāng)，結(jié)合圖形性質(zhì)可得結(jié)論；②當(dāng)的面積是的面積的3倍時(shí)，得到 設(shè)則 結(jié)合圖形的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示 利用正切的定義可得答案．

解：（1）∵，

∴.

∵為的直徑，

∴，且，

∴.

∴.

∴.

（2）∵為邊上的高，且，

∴.

∴.

∴.

又∵為中點(diǎn)，且，

∴.

∴是等邊三角形，

∴.

∵．

，

∴

（3）①i當(dāng)，由題意得：

設(shè)為，則

∴

由，得

∴.

由

得.

∴

ii當(dāng)

設(shè)為，則.

由得，

，化簡(jiǎn)，

，（舍）

∴

iii當(dāng)

由于，且

∴不存在

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，四邊形其中一邊長(zhǎng)為的2倍.

②如圖，當(dāng)的面積是的面積的3倍時(shí)，

設(shè)則

為的中點(diǎn)，

設(shè) 則

解得： 或舍去，

同理可得：