Question

10．已知：矩形ABCD中，AB=10，AD=8，點(diǎn)E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊得到△AB′E．
（1）如圖1，點(diǎn)G和點(diǎn)H分別是AD和AB′的中點(diǎn)，若點(diǎn)B′在邊DC上．
①求GH的長(zhǎng)；
②求證：△AGH≌△B′CE；
（2）如圖2，若點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接B′F，B′F∥AD，交DC于I．
①求證：四邊形BEB′F是菱形；
②求B′F的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①由折疊的性質(zhì)可得出AB=AB′，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠ADB′=90°，在Rt△ADB′中，利用勾股定理即可得出B′D的長(zhǎng)度，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
②由點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)可求出AG的長(zhǎng)度，通過邊與邊的關(guān)系可得出B′C=4，由此得出B′C=AG，再通過角的計(jì)算得出∠AHG=B′EC，由此即可根據(jù)全等三角形的判定定理AAS證出△AGH≌△B′CE；
（2）①連接BF，由平行線的性質(zhì)結(jié)合直角三角的中線的性質(zhì)即可得知△B′EF為等邊三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可證出四邊形BEB′F是菱形；
②由等邊三角形和平行線的性質(zhì)可得出∠BEF=∠B′EF=60°，再由AB=10利用特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①∵將△ABE沿AE折疊得到△AB′E，
∴AB=AB′．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ADB′=90°，
在Rt△ADB′中，AD=8，AB′=10，
∴B′D=$\sqrt{AB{′}^{2}-A{D}^{2}}$=6．
∵點(diǎn)G和點(diǎn)H分別是AD和AB′的中點(diǎn)，
∴GH為△ADB′的中位線，
∴GH=$\frac{1}{2}$DB′=3．
②證明：∵GH為△ADB′的中位線，
∵GH∥DC，AG=$\frac{1}{2}$AD=4，
∴∠AHG=∠AB′D．
∵∠AB′E=∠ABE=90°，
∴∠AB′D+∠CB′E=90°，
又∵∠CB′E+∠B′EC=90°，
∴∠AHG=B′EC，
∵CD=AB=10，DB′=6，
∴B′C=4=AG．
在△AGH和△B′CE中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AHG=∠B′EC}\\{∠AGH=∠B′CE=90°}\\{B′C=AG}\end{array}\right.$，
∴△AGH≌△B′CE（AAS）．
（2）①證明：連接BF，如圖所示．
∵將△ABE沿AE折疊得到△AB′E，
∴BF=B′F，∠B′EF=∠BEF，BE=B′E，
∵B′F∥AD，AD∥BC，
∴B′F∥BC，
∴∠B′FE=∠BEF=∠B′EF．
∵∠AB′E=∠ABE=90°，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，
∴B′F=$\frac{1}{2}$AE=FE，
∴△B′EF為等邊三角形，
∴B′F=B′E．
∵BF=B′F，BE=B′E，
∴B′F=BF=BE=B′E，
∴四邊形BEB′F是菱形．
②∵△B′EF為等邊三角形，
∴∠BEF=∠B′EF=60°，
∴BE=AB•cot∠BEF=10×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∵四邊形BEB′F是菱形，
∴B′F=BE=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及菱形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：（1）①利用勾股定理求出DB′的長(zhǎng)度；②利用全等三角形的判定定理AAS證出△AGH≌△B′CE；（2）①得出△B′EF為等邊三角形；②利用特殊角的三角函數(shù)值求出BE的長(zhǎng)度．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)圖形的翻折找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．