Question

10．平行四邊形ABCD中，AB=28，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=EF=FC，DE交AB于點(diǎn)M，MF交CD于點(diǎn)N．求AM、CN的長．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，先證明△AEM∽△CED，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例這一性質(zhì)求得AM=$\frac{1}{2}$AB；再來證明△AFM∽△CFN，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求的CN的長度．

解答 解：在△AEM和△CED中，
∠CAB=∠DCA（內(nèi)錯角相等），
∠AEM=∠CED，
∴△AEM∽△CED，
∴$\frac{AM}{CD}=\frac{AE}{EC}$，
∵AE=EF=FC，
∴$\frac{AM}{CD}=\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$CD；
∵AB=CD，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=14，①；
在△AFM和△CFN中，
∠FAM=∠FCN（內(nèi)錯角相等），∠AFM=∠CFN（對頂角相等），
∴△AFM∽△CFN，
∴$\frac{AM}{CN}=\frac{AF}{CF}$=2，
∴CN=$\frac{1}{2}$AM②；
∵AB=28 ③
由①②③解得，CN=7．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定定理：兩個三角形中，兩個對應(yīng)角相等，則這兩個三角形相似，以及相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例．