【題目】如圖,拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(﹣1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結論;

(3)點M是x軸上的一個動點,當△DCM的周長最小時,求點M的坐標.

【答案】(1), D (,);(2)△ABC是直角三角形,證明見解析;

(3)M( ,0).

【解析】(1)∵點A(-1,0)在拋物線y=x2 + bx-2上,

× (-1 )2 + b× (-1)–2 = 0,

解得b =

∴ 拋物線的解析式為y=x2-x-2.

y= ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,

∴頂點D的坐標為 (, -).

(2)當x = 0時y = -2,

∴C(0,-2),OC = 2。

當y = 0時, x2-x-2 = 0,

∴x1 =-1, x2 = 4,

∴B (4,0)

∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.

∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,

∴AC2 +BC2 = AB2.

∴△ABC是直角三角形.

(3)作出點C關于x軸的對稱點C′,則C′(0,2),OC′=2,連接C′D交x軸于點M,根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知,MC + MD的值最小及△DCM的周長最小

設拋物線的對稱軸交x軸于點E.

∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

, ∴m =

所以M的坐標為(,0)

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