【題目】如圖,拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結論;
(3)點M是x軸上的一個動點,當△DCM的周長最小時,求點M的坐標.
【答案】(1), D (,);(2)△ABC是直角三角形,證明見解析;
(3)M( ,0).
【解析】(1)∵點A(-1,0)在拋物線y=x2 + bx-2上,
∴× (-1 )2 + b× (-1)–2 = 0,
解得b =,
∴ 拋物線的解析式為y=x2-x-2.
y= ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,
∴頂點D的坐標為 (, -).
(2)當x = 0時y = -2,
∴C(0,-2),OC = 2。
當y = 0時, x2-x-2 = 0,
∴x1 =-1, x2 = 4,
∴B (4,0)
∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,
∴AC2 +BC2 = AB2.
∴△ABC是直角三角形.
(3)作出點C關于x軸的對稱點C′,則C′(0,2),OC′=2,連接C′D交x軸于點M,根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知,MC + MD的值最小及△DCM的周長最小
設拋物線的對稱軸交x軸于點E.
∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴, ∴m =.
所以M的坐標為(,0)
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【題目】已知:如圖,平行四邊形ABCD的邊AD=2AB,點E、A、B、F在一條直線上,且AE=BF=AB,EC交AD于M,FD交BC于N.
(1) △AEM≌△DCM嗎?說明理由.
(2) 四邊形CDMN是菱形嗎?說明理由.
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【題目】對,定義一種新的運算,規(guī)定:(其中).已知,.
(1)求,的值;
(2)若關于正數(shù)的不等式組恰好有2個整數(shù)解,求的取值范圍;
(3)請直接寫出時,滿足條件的,的關系.
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【題目】在一次消防演習中,消防員架起一架25米長的云梯,如圖斜靠在一面墻上,梯子底端離墻7米.
(1)求這個梯子的頂端距地面有多高?
(2)如果消防員接到命令,要求梯子的頂端下降4米(云梯長度不變),那么云梯的底部在水平方向應滑動多少米?
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【題目】我們知道,經(jīng)過原點的拋物線可以用y=ax2+bx(a≠0)表示,對于這樣的拋物線:
(1)當拋物線經(jīng)過點(-2,0)和(-1,3)時,求拋物線的表達式;
(2)當拋物線的頂點在直線y=-2x上時,求b的值.
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【題目】如圖,已知⊙O的直徑AB=12,弦AC=10,D是弧BC的中點,過點D作DE⊥AC,交AC的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求AE的長.
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【題目】如圖,已知點A的坐標是(﹣1,0),點B的坐標是(9,0),以AB為直徑作⊙O′,交y軸的負半軸于點C,連接AC、BC,過A、B、C三點作拋物線.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點E是AC延長線上一點,∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D,連結BD,求直線BD的解析式;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點P,使得∠PDB=∠CBD?如果存在,請求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.
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