Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=24厘米，BC=10厘米，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊以4厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊2厘米/秒的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，求P、Q兩點(diǎn)之間的距離；
（2）t為何值時(shí)，線段AQ與DP互相平分？
（3）t為何值時(shí)，四邊形APQD的面積為矩形面積的？

Answer 1

解：（1）如圖所示：連接PQ，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DQ于點(diǎn)E，
∵AB=24厘米，BC=10厘米，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊以4厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊2厘米/秒的速度移動(dòng)，
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，QC=4cm，AP=8cm，
∴DQ=24-QC=20，則EQ=12，
∴PQ===2（cm），

（2）∵AP=4t，DQ=24-2t，
當(dāng)線段AQ與DP互相平分，則四邊形APQD為矩形時(shí)，
則AP=DQ，即4t=24-2t，
解得：t=4．
故t為4秒時(shí)，線段AQ與DP互相平分；

（3）∵P在AB上，
∴S=（DQ+AP）AD，
=（4t+24-2t）×10，
=10t+120（0＜t≤6），
S_矩形ABCD=10×24=240，
∴10t+120=×240，
解得：t=3．
∴t為3秒時(shí)，四邊形APQD的面積為矩形面積的．
分析：（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，表示出QC，AP的長(zhǎng)，利用勾股定理求出PQ的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)線段AQ與DP互相平分，則四邊形APQDA為矩形，也就是AP=DQ，分別用含t的代數(shù)式表示，解出即可；
（3）用t表示出四邊形APQD的面積，再求出矩形面積的進(jìn)而得出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度得出QC以及AP的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．