如圖，已知AB是⊙O直徑，AC是⊙O弦，點D是
ABC
的中點，弦DE⊥AB，垂足為F，DE交AC于點G．
（1）若過點E作⊙O的切線ME，交AC的延長線于點M（請補(bǔ)完整圖形），試問：ME=MG是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（2）在滿足第（2）問的條件下，已知AF=3，F(xiàn)B=
4
3
，求AG與GM的比．
（1）ME=MG成立，理由如下：
如圖，連接EO，并延長交⊙O于N，連接BC；
∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥DE，
∴
AD
=
AE
，
∵點D是
ABC
的中點，
∴
AD
=
DBC
，
∴
AE
=
DBC
，
∴
AC
=
DBE
，即AC=DE，∠N=∠B；
∵M(jìn)E是⊙O的切線，
∴∠MEG=∠N=∠B，
又∵∠B=90°-∠GAF=∠AGF=∠MGE，
∴∠MEG=∠MGE，故ME=MG．

（2）由相交弦定理得：DF2=AF•FB=3×
4
3
=4，即DF=2；
故DE=AC=2DF=4；
∵∠FAG=∠CAB，∠AFG=∠ACB=90°，
∴△AFG∽△ACB，
∴
AG
AB
=
AF
AC
，即
AG
3+
4
3
=
3
4
，
解得AG=
13
4
，GC=AC-AG=
3
4
；
設(shè)ME=MG=x，則MC=x-
3
4
，MA=x+
13
4
，
由切割線定理得：ME2=MC•MA，即x2=（x-
3
4
）（x+
13
4
），
解得MG=x=
39
40
；
∴AG：MG=
13
4
：
39
40
=10：3，即AG與GM的比為
10
3
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB．
（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
（2）若AD=2
6
，AE=6
2
，求BD的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點，BP的延長線交⊙O于點Q，過點Q的直線交OA延長線于點R，且RP=RQ
求證：直線QR是⊙O的切線．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CH⊥AB于點H，過點B作⊙O的切線交直線AC于點D，點E為CH的中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交AB的延長線于G．
（1）求證：AE•FD=AF•EC；
（2）求證：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑r的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知PAB是⊙O的割線，AB為⊙O的直徑，PC為⊙O的切線，C為切點，BD⊥PC于點D，交⊙O于點E，PA=AO=OB=1．
（Ⅰ）求∠P的度數(shù)；
（Ⅱ）求DE的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=2
7
，AB=BC=3．求BD和AC的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

圓外切等腰梯形的底角為30°，中位線的長為8，則該圓的直徑長為______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知⊙O是以坐標(biāo)原點O為圓心，1為半徑的圓，∠AOB=45°，點P在x軸上運(yùn)動，若過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設(shè)P（x，0），則x的取值范圍是______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直徑的AE．

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同步練習(xí)冊答案