Question

（6分）如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點。

Answer 1

證明：連接BD，

∵在等邊△ABC，且D是AC的中點，
∴∠DBC=1/2∠ABC=1/2×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE為等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中點。

分析：要證M是BE的中點，根據題意可知，證明△BDE△為等腰三角形，利用等腰三角形的高和中線向重合即可得證。
解答：
證明：連接BD，

∵在等邊△ABC，且D是AC的中點，
∴∠DBC=1/2∠ABC=1/2×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE為等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中點。
點評：本題考查了等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線和高三線合一的性質以及等邊三角形每個內角為60°的知識．輔助線的作出是正確解答本題的關鍵。