Question

已知拋物線y=x²+（k+1）x+

k-3

4

．
（1）求證：此拋物線與x軸總有兩個不同的交點．
（2）設x₁，x₂是此拋物線與x軸兩交點的橫坐標，且滿足x₁²+x₂²=k²+

5

2

，求此拋物線的解析式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）先計算判別式的值得到△=（k+

1

2

）²+

15

4

，再利用非負數(shù)的性質得到△＞0，然后根據(jù)b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)得到結論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=-（k+1），x₁•x₂=

k-3

4

，再變形x₁²+x₂²=k²+

5

2

得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=k²+

5

2

，則（k+1）²-2×

k-3

4

=k²+

5

2

，解得
然后解方程求出k即可確定拋物線的解析式．

解答：（1）證明：△=（k+1）²-4×

k-3

4

=k²+k+4
=（k+

1

2

）²+

15

4

，
∵（k+

1

2

）²≥0，
∴（k+

1

2

）²+

15

4

＞0，即△＞0，
∴此拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

（2）解：根據(jù)題意得x₁+x₂=-（k+1），x₁•x₂=

k-3

4

，
∵x₁²+x₂²=k²+

5

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=k²+

5

2

，
∴（k+1）²-2×

k-3

4

=k²+

5

2

，解得k=0，
∴拋物線解析式為y=x²+x-

3

4

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系：△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)；△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．