Question

如圖，正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE，與BC延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F．連接EF，與CD邊交于點(diǎn)G，與對(duì)角線(xiàn)BD交于點(diǎn)H．
（1）若BF=BD=

2

，求BE的長(zhǎng)；
（2）若M、N分別為EF、DB的中點(diǎn)，求證：MN⊥DB．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由四邊形ABCD正方形，BF=BD=

2

，由勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，又由DF⊥DE，易證得△ADE≌△CDF，即可求得BE的長(zhǎng)；
（2）利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半得出BM，DM的關(guān)系進(jìn)而得出答案即可．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，
∴Rt△BCD中，BC²+CD²=BD²，
即BC²=（

2

）²+（

2

）²，
∴BC=AB=1，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠ADE=∠CDF AD=DC ∠A=∠DCF=90°

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=

2

-1，
∴BE=AB-AE=1-（

2

-1）=2-

2

；

（2）證明：如圖：連接DM，BM，
∵DF⊥DE，M為EF中點(diǎn)，
∴DM=

1

2

EF，
∵∠EBF=90°，M為EF中點(diǎn)，
∴BM=

1

2

EF，
∴BM=DM，
又∵N是BD的中點(diǎn)，
∴MN⊥BD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識(shí)，根據(jù)已知得出BM=DM是解題關(guān)鍵．