如圖,矩形OABC邊長OA、OC分別為12cm和6cm,點A、C分別在y軸和x軸上,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B,且18a+c=0.
(1)求拋物線的關(guān)系式.
(2)①若點P從A向B移動,速度是1cm/s,同時點Q從B向C移動,速度是2cm/s.移動t秒后,設(shè)△PBQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式并寫出t的取值范圍.
②當S取最大值時,拋物線上是否存在點R,使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出R的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)矩形的對邊相等求出點A、B的坐標,把兩點的坐標代入拋物線解析式,再聯(lián)立18a+c=0,解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,然后即可得到拋物線的關(guān)系式;
(2)①根據(jù)速度的不同,表示出BP、BQ的長度,然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到S與t的關(guān)系式,根據(jù)速度分別求出點P與點Q的運動時間即可得到t取值范圍;
②先根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題求出S取最大值時的t的值,從而求出點P與點Q的坐標,再根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等,分QR與PB是對邊時,PR與QB是對邊時,兩種情況求出點Q的坐標,然后代入拋物線解析式進行驗證,如果點Q在拋物線上,則存在,否則不存在.
解答:解:(1)∵矩形OABC邊長OA、OC分別為12cm和6cm,
∴點A、B的坐標分別為A(0,-12),B(6,-12),
又∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B,且18a+c=0,
,
解得,
∴拋物線解析式為y=x2-4x-12;

(2)①根據(jù)題意,PB=AB-AP=6-t,BQ=2t,
所以,S=PB•BQ=(6-t)×2t=-t2+6t,
即S=-t2+6t,
點P運動的時間為6÷1=6秒,
點Q運動的時間為12÷2=6秒,
所以,t的取值范圍是0<t<6;

②拋物線上存在點R(3,-18),使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形.
理由如下:∵S=-t2+6t=-(t-3)2+9,
∴當t=3秒時,S取最大值,
此時,PB=AB-AP=6-t=6-3=3,
BQ=2t=2×3=6,
所以,要使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形,
(i)當QR與PB是對邊時,點R的橫坐標是6+3=9,縱坐標是-(12-6)=-6,
所以點R的坐標為(9,-6),
此時×92-4×9-12=6≠-6,
所以點R不在拋物線上,
(ii)當PR與QB是對邊時,點R的橫坐標是3,縱坐標是-(12+6)=-18,
所以點R的坐標是(3,-18),
此時,×32-4×3-12=-18,
所以點R在拋物線上,
綜上所述,拋物線上存在點R(3,-18),使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形.
點評:本題綜合考查了二次函數(shù)的問題,主要利用了矩形的性質(zhì),待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,三角形的面積,二次函數(shù)的最大值問題,以及平行四邊形的性質(zhì),因為平行四邊形的對邊沒有明確,注意分情況討論求解.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,矩形OABC中,點O為原點,點A的坐標為(0,8),點C的坐標為(6,0).拋物線y=-
4
9
x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點,與AB邊交于點D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合),點Q為線段AC上一個動點,AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達式,并求出m為何值時,S取得最大值;
②當S最大時,在拋物線y=-
4
9
x2+bx+c的對稱軸l上若存在點F,使△FDQ為直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的F的坐標;若不存在,請說明理由.
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,矩形OABC邊長OA、OC分別為12cm和6cm,點A、C分別在y軸和x軸上,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B,且18a+c=0.
(1)求拋物線的關(guān)系式.
(2)①若點P從A向B移動,速度是1cm/s,同時點Q從B向C移動,速度是2cm/s.移動t秒后,設(shè)△PBQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式并寫出t的取值范圍.
②當S取最大值時,拋物線上是否存在點R,使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出R的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,矩形OABC邊長OA、OC分別為12cm和6cm,點A、C分別在y軸和x軸上,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B,且18a+c=0.
(1)求拋物線的關(guān)系式.
(2)①若點P從A向B移動,速度是1cm/s,同時點Q從B向C移動,速度是2cm/s.移動t秒后,設(shè)△PBQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式并寫出t的取值范圍.
②當S取最大值時,拋物線上是否存在點R,使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出R的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

如圖,矩形OABC邊OA長為1,邊AB長為2,OC在數(shù)軸上,且點O與原點重合.以O(shè)為圓心,對角線OB的長為半徑畫弧,交負半軸于點D,則點D表示的實數(shù)是


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

查看答案和解析>>

同步練習冊答案