Question

已知▱ABCD的一組鄰邊AB、AD的長是關(guān)于x的方程x²﹣4x+m=0的兩個(gè)實(shí)根．

（1）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是菱形？

（2）在第（1）問的前提下，若∠ABC=60°，求▱ABCD的面積．

　

　

Answer 1

【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；根的判別式；平行四邊形的性質(zhì)．

【分析】（1）四邊形ABCD是菱形時(shí)，AB=AD，由一元二次方程根的判別式=0即可求出m的值；

（2）連接AC、BD交于點(diǎn)O，由一元二次方程的根求出AB的長，進(jìn)一步利用菱形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)求得對角線的長，利用面積計(jì)算方法計(jì)算得出答案即可．

【解答】解：（1）四邊形ABCD是菱形時(shí)，AB=AD，

∵AB，AD的長是關(guān)于x的方程x²﹣mx+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴△=（﹣4）²﹣4m=0，

解得：m=4，

∴當(dāng)m=4時(shí)，四邊形ABCD是菱形

（2）如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O，

當(dāng)m=4時(shí)，

x²﹣4x+4=0，

解得：x₁=x₂=2，

則AB=2，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠ABC=30°，

D═2OB，AC=2OA，AC⊥BD，

在直角△AOB中，

∵∠ABO=30°，

∴OA=AB=1，

0B=，

BD=2OB=2，

AC=2OA=2，

∴S_菱形ABCD=BD•AC=×2×2=2．

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式；熟練掌握菱形性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．