【題目】如圖,已知正方形ABCD,點E在BA延長線上,點F在BC上,且∠CDE=2∠ADF.
(1)求證:∠E=2∠CDF;
(2)若F是BC中點,求證:AE+DE=2AD;
(3)作AG⊥DF于點G,連CG.當(dāng)CG取最小值時,直接寫出AE:AB的值.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)1:2
【解析】
(1)如圖1,延長BC至M,使得CM=AE,連接DM,根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=BC=AD=CD,然后進(jìn)一步證明△ADE△CDM,據(jù)此利用全等三角形性質(zhì)以及正方形性質(zhì)進(jìn)一步分析求證即可;
(2)如圖2,延長BC至M,使得CM=AE,連接DM,作MH⊥DF于H,設(shè)BF=FC=x,利用勾股定理求出DF=x,據(jù)此進(jìn)一步分析證明△DFC~△MFH,最后再利用相似三角形性質(zhì)進(jìn)一步加以分析求證即可;
(3)如圖3﹣1中,取AD的中點N,首先求出當(dāng)C、G、N三點共線時,CG最小,然后如圖3﹣2中,當(dāng)C、G、N共線時,延長BC至M,使得CM=AE,連接DM,通過證明四邊形NCMD為平行四邊形進(jìn)一步求解即可.
(1)證明:如圖1,延長BC至M,使得CM=AE,連接DM,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=BC=AD=CD,
在△ADE與△CDM中,
∵AD=CD,∠DAE=∠DCM,AE=CM,
∴△ADE△CDM(SAS),
∴∠E=∠M,∠EDA=∠CDM,
∴∠CDE=∠ADM,
∵∠CDE=2∠ADF,
∴∠ADM=2∠ADF,
∴∠FDM=∠ADF,
∵正方形ABCD中AD∥BC,
∴∠ADF=∠DFM=∠FDM,
∴∠E=∠M=180°﹣2∠DFM,
∵∠DCB=90°,
∴∠CDF=90°﹣∠DFM,
∴∠E=2∠CDF.
(2)證明:如圖2,延長BC至M,使得CM=AE,連接DM,作MH⊥DF于H.
∵若F是BC中點,設(shè)BF=FC=x,則CD=2x,
在Rt△FDC中,DF=x,
由(1)得,∠DFM=∠FDM,
∴DM=FM,
又∵HM⊥DF,
∴FH=DF=x,
∵∠DFC=∠MFH,∠DCB=∠MHF=90°,
∴△DFC~△MFH,
∴,
∴FM=x,
∴CM=AE=FM﹣FC=x,
∵DE=DM=FM=x,
∴AE+DE=x+x=4x,
∵CD=AD=2x,
∴AE+DE=2AD.
(3)如圖3﹣1中,取AD的中點N.
∵AG⊥DF于點G,
∴∠AGD=90°,
∵AN=DN,
∴GN=AD,
∵CG≥CN﹣GN,
∴當(dāng)C、G、N三點共線時,CG最小.
如圖3﹣2中,當(dāng)C、G、N共線時,延長BC至M,使得CM=AE,連接DM,
∵∠AGD=90°,N為AD中點,
∴AN=NG=ND,
∴∠NGD=∠ADF,
由(1)∠ADF=∠FDM,
∴∠NGD=∠FDM,
∴DM∥NC,
∵正方形ABCD中AD∥BC,
∴四邊形NCMD為平行四邊形,
∴CM=DN=AD,
∵CM=AE,
∴AE=AD=AB,
∴AE:AB=1:2.
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【題目】如圖,直線 y=﹣x+4 與坐標(biāo)軸分別交于 A,B 兩點,把△AOB 繞點A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°后得到△AO′B′.
(1)寫出點 A 的坐標(biāo),點 B 的坐標(biāo);
(2)在方格中直接畫出△AO′B′;
(3)寫出點 O′的坐標(biāo);點 B′的坐標(biāo).
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【題目】在△ABC中,AB=4,BC=2,∠ABC=45°,以AB為一邊作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°,連接CD,則線段CD的長為_____.
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【題目】某種電纜在空中架設(shè)時,兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀,現(xiàn)按操作要求,電纜最低點離水平地面不得小于6米.
(1)如圖1,若水平距離間隔80米建造一個電纜塔柱,求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有多少米的高度?
(2)如圖2,若在一個坡度為1:5的斜坡上,按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱.
①求這種情況下在豎直方向上,下垂的電纜與斜坡的最近距離為多少米?
②這種情況下,直接寫出下垂的電纜與地面的最近距離為多少米?
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【題目】如圖,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且AB∥CD,添加下列條件后仍不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是( 。
A.AB=CDB.AD∥BCC.OA=OCD.AD=BC
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于O,EF過點O與AD,BC分別交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,則四邊形EFCD的周長_____.
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【題目】某公司投資銷售一種進(jìn)價為每件15元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):,在銷售過程中銷售單價不低于成本價,而每件的利潤不高于成本價的60%.
(1)設(shè)該公司每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.
(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?
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【題目】如圖所示,正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)的圖象交于點A(﹣3,2).
(1)試確定上述正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象回答,在第二象限內(nèi),當(dāng)x取何值時,反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值?
(3)P(m,n)是反比例函數(shù)圖象上的一動點,其中﹣3<m<0,過點P作直線PB∥x軸,交y軸于點B,過點A作直線AD∥y軸,交x軸于點D,交直線PB于點C.當(dāng)四邊形OACP的面積為6時,請判斷線段BP與CP的大小關(guān)系,并說明理由.
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