Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為一邊在△ABC作等邊三角形ACD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E，連接CE．
（1）求證：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射線(xiàn)DE上的一點(diǎn)．則當(dāng)DP為何值時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)題意得出∠AFE=∠ACE=90°可得出EF∥BC，再由點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)可得出點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，繼而利用直角三角形的斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)可得出所證得結(jié)論．
（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑的知識(shí)可得，點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和點(diǎn)B的連線(xiàn)與DE的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，結(jié)合圖形及（1）可得點(diǎn)P的位置即是點(diǎn)E的位置，從而可求出此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)（等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)），
∴EF是△ABC的中位線(xiàn)，即可得點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；

（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

152-92

=12，
∵等邊三角形ACD，DE⊥AC，
∴F是AC的中點(diǎn)，∠ADF=30°，
∴EF=

1

2

BC=

1

2

×9=4.5，AF=

1

2

AC=

1

2

×12=6，
∴AD=12cm，
∴DF=

AD2-AF2

=6

3

，
∴DE=DF+EF=6

3

+4.5（cm），
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑的知識(shí)，可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合的時(shí)候PB+PC最小，也即△PBC的周長(zhǎng)最小，
此時(shí)PB=PC=

1

2

AB=

15

2

，即DP=DE=（6

3

+4.5）cm時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，
故△PBC的最小周長(zhǎng)=PB+PC+BC=15+9=24（cm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑的知識(shí)，與實(shí)際結(jié)合得比較緊密，有一定的綜合性，解答本題（2）的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)確定點(diǎn)P的位置．