Question

（2012•金東區(qū)一模）已知：如圖，直線y=kx+b與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B（0，16），與直線y=x相交于點C．P（0，t）是y軸上的一個動點，過點P作直線l垂直y軸，與直線y=x相交于點D，與直線y=kx+b相交于點E，在直線l下方作一個等腰直角三角形DEF，使DF=DE，∠EDF=90°．
（1）求直線AB的解析式和C點的坐標；
（2）當點F落在x軸上時，求t的值；
（3）當t為何值時，以A，E，P，F(xiàn)為頂點的四邊形是梯形？

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入直線y=kx+b得到關(guān)于k、b二元一次方程組，求解得到k、b的值，即可得解，聯(lián)立兩直線解析式，求解即可得到點C的坐標；
（2）利用直線解析式表示出點D、E的坐標，然后求出DE的長度，再根據(jù)點F在x軸上，DE=DF列式計算即可得解；
（3）根據(jù)梯形的底邊平行，分①PE∥AF時，點F在x軸上，根據(jù)（2）的結(jié)論解答，②PF∥AE時，先根據(jù)點D、E的坐標求出DE的長度，然后表示出點F的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線PF的解析式，然后根據(jù)平行直線的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值；③AP∥EF時，分點P在y軸正半軸與負半軸兩種情況求出DE的長度，然后表示出點F的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AP、EF的解析式，然后根據(jù)平行直線的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B（0，16），
∴

8k+b=0 b=16

，
解得

k=-2 b=16

，
所以，直線AB的解析式為y=-2x+16，
聯(lián)立

y=x y=-2x+16

，
解得

x= 16 3 y= 16 3

，
所以，C點坐標為（

16

3

，

16

3

）；

（2）根據(jù)題意，點D、E的縱坐標都是t，
所以，-2x+16=t，
解得x=

16-t

2

，
所以，點D（t，t），E（

16-t

2

，t），
DE=|

16-t

2

-t|，
∵點F在x軸上，
∴|

16-t

2

-t|=t，
即

16-t

2

-t=t或

16-t

2

-t=-t，
解得t=

16

5

或t=16，
所以，t的值為

16

5

，16；

（3）①PE∥AF時，點F在x軸上，根據(jù)（2）的結(jié)論，
t=

16

5

或16，
當t=16時，P、B、E三點重合，以A，E，P，F(xiàn)為頂點的是三角形，不符合題意舍去，
所以，t=

16

5

；

②PF∥AE時，點D在點E的左邊，
∵D（t，t），E（

16-t

2

，t），
∴DE=

16-t

2

-t=

16-3t

2

，
點F的縱坐標為：t-

16-3t

2

=

5t-16

2

，
∴點F（t，

5t-16

2

），
設(shè)直線PF的解析式為y=ex+f，
則

f=t te+f= 5t-16 2

，
解得

e= 3t-16 2t f=t

，
所以，直線PF的解析式為y=

3t-16

2t

x+t，
∵PF∥AE，
∴

3t-16

2t

=-2，
解得t=

16

7

；

③AP∥EF時，（i）若點P在y軸正半軸，則DE=t-

16-t

2

=

3t-16

2

，
點F的縱坐標為t-

3t-16

2

=

-t+16

2

，
∴點F的坐標為（t，

-t+16

2

），
設(shè)直線EF的解析式為y=cx+d，則

16-t 2 c+d=t tc+d= -t+16 2

，
解得

c=-1 d= t+16 2

，
∴直線EF的解析式為y=-x+

t+16

2

，
又∵A（8，0），P（0，t），
∴直線AP的解析式為y=-

t

8

+t，
∵AP∥EF，
∴-

t

8

=-1，
解得t=8，

（ii）若點P在y軸負半軸，則DE=

16-t

2

-t=

16-3t

2

，
點F的縱坐標為t-

16-3t

2

=

5t-16

2

，
∴點F的坐標為（t，

5t-16

2

），
設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n，則

16-t 2 m+n=t tm+n= 5t-16 2

，
解得

m=1 n= 3t-16 2

，
∴直線EF的解析式為y=x+

3t-16

2

，
又∵A（8，0），P（0，t），
∴直線AP的解析式為y=-

t

8

+t，
∵AP∥EF，
∴-

t

8

=1，
解得t=-8，
綜上所述，t的值為

16

5

，

16

7

，8，-8．

點評：本題是一次函數(shù)的綜合題型，主要涉及到待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩直線解析式求交點坐標，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及梯形的兩底邊互相平行，（3）求解思路比較復雜，且運算量較大，要分情況討論求解．