Question

7．探究：如圖①，在矩形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，∠DAE=∠FAE．判斷AE與EF的位置關(guān)系，并加以證明．
拓展：如圖②，在?ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，∠DAE=∠FAE，若AD=$\frac{5}{2}$，CF=$\frac{1}{2}$，EF=$\frac{3}{5}$，則sin∠DAE=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 探究：延長AE交BC的延長線與G，由矩形的性質(zhì)得出∠DAE=∠G，由AAS證明△ADE≌△GCE，得出AE=GE，AD=GC，由已知條件得出∠G=∠FAE，證出AF=GF，再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論；
拓展：延長AE交BC的延長線與G，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠DAE=∠G，由AAS證明△ADE≌△GCE（AAS），得出AE=GE，AD=GC，證出∠G=∠FAE，得出AF=GF，由等腰三角形的性質(zhì)得出AE⊥EF，求出AF=GF=CF+CG=CF+AD=3，由三角函數(shù)得出isn∠DAE=sjn∠FAE=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{1}{5}$即可．

解答 探究：解：AE⊥EF；理由如下：
延長AE交BC的延長線與G，如圖1所示：
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
在△ADE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠G}&{\;}\\{∠AED=∠GEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AE=GE，AD=GC，
∵∠DAE=∠FAE，
∴∠G=∠FAE，
∴AF=GF，
∵AE=GE，
∴AE⊥EF；
拓展：解：延長AE交BC的延長線與G，如圖1所示：
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
在△ADE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠G}&{\;}\\{∠AED=∠GEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AE=GE，AD=GC，
∵∠DAE=∠FAE，
∴∠G=∠FAE，
∴AF=GF，
∵AE=GE，
∴AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∵AF=GF=CF+CG=CF+AD=$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$=3，
∴sin∠DAE=sin∠FAE=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\frac{3}{5}}{3}$=$\frac{1}{5}$．
故答案為：$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形和平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．