Question

15．如圖，在菱形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，∠B=120°，E是AD邊上的一個動點（不與點A，D重合），EF∥AB交BC于點F，點G在CD上，DG=DE．
（1）當(dāng)△EFG為等腰三角形時，求DE的長；
（2）當(dāng)△EFG為等腰三角形時，求△EFG與菱形ABCD的面積比．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四邊形ABFE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF∥AB，于是得到EF=AB=$\sqrt{3}$，當(dāng)△EFG為等腰三角形時，①EF=GE=$\sqrt{3}$時，于是得到DE=DG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，②GE=GF時，根據(jù)勾股定理得到DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）當(dāng)△EFG為等腰三角形時，EG²+FG²=EF²時根據(jù)三角函數(shù)的定義得到GE=$\frac{3}{2}$，GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)三角形和菱形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∵EF∥AB，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴EF∥AB，
∴EF=AB=$\sqrt{3}$，
當(dāng)△EFG為等腰三角形時，
①EF=GE=$\sqrt{3}$時，則DE=DG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
②GE=GF時，（$\sqrt{3}DE）$²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE）²+（$\sqrt{3}$-DE-$\frac{1}{2}$DE）²，解得DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）當(dāng)△EFG為等腰三角形時，EG²+FG²=EF²時，
∵GD=DE，
∴∠DGE=∠DEG=30°，
∴∠FEG=30°，
∴$\frac{GE}{EF}$=sin60°，
∴$\frac{GE}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GE=$\frac{3}{2}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△EFG}}{{S}_{菱形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練則菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．