Question

【題目】如圖1，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，AB表示A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的距離，且a、b滿足|a+4|+|b+3a|＝0．

（1）求A、B兩點(diǎn)之間的距離；

（2）若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)C，且AC+BC＝19，求C點(diǎn)表示的數(shù)；

（3）如圖2，若在原點(diǎn)O處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)A處以2個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；兩秒后另一個(gè)小球乙從點(diǎn)B處以3個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看做一點(diǎn)）乙球以4個(gè)單位/秒的速度向相反方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

①分別表示甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離（用含t的式子表示）；

②求甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時(shí)，甲球所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)；

Answer 1

【答案】（1）A、B兩點(diǎn)之間的距離是16；（2）點(diǎn)C不可能線段AB上，則C點(diǎn)可能在線段BA的延長線上或線段AB的延長線上，當(dāng)AC+BC＝19，C表示的數(shù)為或；（3）①乙球到原點(diǎn)的距離為：12﹣3（t﹣2）；甲球與原點(diǎn)的距離為：2t+4；②甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時(shí)，甲球所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣或﹣48．

【解析】

（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得A、B兩點(diǎn)之間的距離；

（2）分C點(diǎn)在線段BA延長線上和線段AB延長線上兩種情況討論即可求解；

（3）①甲球到原點(diǎn)的距離＝甲球運(yùn)動(dòng)的路程+OA的長，乙球到原點(diǎn)的距離分兩種情況：（Ⅰ）乙球從點(diǎn)B處開始向左運(yùn)動(dòng)，一直到原點(diǎn)O，此時(shí)OB的長度﹣乙球運(yùn)動(dòng)的路程即為乙球到原點(diǎn)的距離；（Ⅱ）乙球從原點(diǎn)O處開始向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)乙球運(yùn)動(dòng)的路程﹣OB的長度即為乙球到原點(diǎn)的距離；

②按①分兩種情況根據(jù)甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等列出關(guān)于t的方程，解方程即可．

解：（1）∵|a+4|+|b+3b|＝0，

∴a+4＝0，b+3a＝0，

∴a＝﹣4，b＝﹣3a＝12，

∴AB＝|b﹣a|＝|12﹣（﹣4）|＝16

∴A、B兩點(diǎn)之間的距離是16．

（2）設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)C表示的數(shù)為c

∴AC＝|c﹣a|＝|c+4|，BC＝|c﹣b|＝|c﹣12|

∵AC+BC＝19

∴|c+4|+|c﹣12|＝19

∵AB＝16＜19

∴點(diǎn)C不可能線段AB上，則C點(diǎn)可能在線段BA的延長線上或線段AB的延長線上．

①當(dāng)C點(diǎn)在線段BA延長線上時(shí)，則有c≤﹣4，

∴|c+4|＝﹣（c+4），|c﹣12|＝﹣（c﹣12）

∴﹣（c+4）﹣（c﹣12）＝19

解得：c＝

②當(dāng)C點(diǎn)在線段AB的延長線上時(shí)，則有c＞12，

∴|c+4|＝c+4，|c﹣12|＝c﹣12

∴c+4+c﹣12＝19

解得：c＝

綜上所說，當(dāng)AC+BC＝19，C表示的數(shù)為或．

（3）①∵甲球運(yùn)動(dòng)的路程為：2t＝2t，OA＝4

∴甲球與原點(diǎn)的距離為：2t+4

乙球到原點(diǎn)的距離分兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，乙球從點(diǎn)B處開始向左運(yùn)動(dòng)，一直到原點(diǎn)O，

∵OB＝12，乙球運(yùn)動(dòng)的路程為：3t＝3t，

∴乙球到原點(diǎn)的距離為：12﹣3（t﹣2）；

（Ⅱ）當(dāng)t＞4時(shí)，乙球從原點(diǎn)O處開始一直向右運(yùn)動(dòng)，

∴乙球到原點(diǎn)的距離為：3（t﹣2）﹣12．

②當(dāng)0＜t≤4時(shí)，得2t+4＝12﹣3（t﹣2），

解得：t＝

∴﹣4﹣2t＝

當(dāng)t＞4時(shí)，得2t+4＝3（t﹣2）﹣12，

解得：t＝22

∴﹣4﹣2t＝﹣48

綜上所述，甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時(shí)，甲球所在位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣或﹣48．