【題目】如圖1,拋物線y=x2bxc的頂點(diǎn)為Q,與x軸交于A(-1,0)、B(50)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C

(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(2)在該拋物線的對稱軸上求一點(diǎn)P,使得△PAC的周長最小,請?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P的位置,并求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,若點(diǎn)D是第一象限拋物線上的一個動點(diǎn),過DDE⊥x軸,垂足為E

有一個同學(xué)說:在第一象限拋物線上的所有點(diǎn)中,拋物線的頂點(diǎn)Qx軸相距最遠(yuǎn),所以當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動至點(diǎn)Q時,折線DEO的長度最長,這個同學(xué)的說法正確嗎?請說明理由.

DE與直線BC交于點(diǎn)F.試探究:四邊形DCEB能否為平行四邊形?若能,請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請簡要說明理由.

【答案】1y-x-22+9Q2,9);(2)(2,3);作圖見解析;(3)①不正確,理由見解析;②不能,理由見解析.

【解析】

1)將A-1,0)、B5,0)分別代入y=-x2+bx+c中即可確定b、c的值,然后配方后即可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);

2)連接BC,交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC.求得C點(diǎn)的坐標(biāo)后然后確定直線BC的解析式,最后求得其與x=2與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo);

3設(shè)Dt-t2+4t+5),設(shè)折線D-E-O的長度為L,求得L的最大值后與當(dāng)點(diǎn)DQ重合時L=9+2=11相比較即可得到答案;

假設(shè)四邊形DCEB為平行四邊形,則可得到EF=DFCF=BF.然后根據(jù)DE∥y軸求得DF,得到DFEF,這與EF=DF相矛盾,從而否定是平行四邊形.

:1)將A-1,0)、B5,0)分別代入y=-x2+bx+c中,得

,解得

∴y=-x2+4x+5

∵y=-x2+4x+5=-x-22+9,

∴Q2,9).

2)如圖1,連接BC,交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC

∵AC長為定值,要使△PAC的周長最小,只需PA+PC最。

點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=2的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B5,0),拋物線y=-x2+4x+5y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).

由幾何知識可知,PA+PC=PB+PC為最。

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+5,將B50)代入5k+5=0,得k=-1

∴y=-x+5,

當(dāng)x=2時,y=3,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(23).

3這個同學(xué)的說法不正確.

設(shè)Dt,-t2+4t+5),設(shè)折線D-E-O的長度為L,則L=t2+4t+5+t=t2+5t+5=(t)2+,

∵a0,

當(dāng)t=時,L最大值=

而當(dāng)點(diǎn)DQ重合時,L=9+2=11,

該該同學(xué)的說法不正確.

四邊形DCEB不能為平行四邊形.

如圖2,若四邊形DCEB為平行四邊形,則EF=DFCF=BF

∵DE∥y軸,

,即OE=BE=2.5

當(dāng)xF=2.5時,yF=-2.5+5=2.5,即EF=2.5;

當(dāng)xD=2.5時,yD=(2.52)2+9=8.75,即DE=8.75

∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.252.5.即DFEF,這與EF=DF相矛盾,

四邊形DCEB不能為平行四邊形.

練習(xí)冊系列答案
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1)如圖1,求此拋物線的解析式;

2P為第一象限拋物線上一動點(diǎn),過PPGAC,垂足為點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段PG的長為d,求dt之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍;

3)如圖2,在(2)的條件下,過點(diǎn)BCP的平行線交y軸上一點(diǎn)F,連接AF,在BF的延長線上取點(diǎn)E,連接PE,若PEAF,∠AFE+BEP180°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo).

)拋物線與軸另一交點(diǎn)為點(diǎn),與軸交于點(diǎn),平行于軸的直線與拋物線交于點(diǎn), ,與直線交于點(diǎn)

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x(天)

1

2

3

mkg

20

24

28

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