【題目】如圖,平面直角坐標系中有點B(20)y軸上的動點A(0,a),其中a>0,以點A為直角頂點在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC,設(shè)點C的坐標為(c,d)

1)當a=4時,則點C的坐標為( );

2)動點A在運動的過程中,試判斷c+d的值是否發(fā)生變化?若不變,請求出其值;若發(fā)生變化,請說明理由.

3)當a=4時,在坐標平面內(nèi)是否存在點P(不與點C重合),使PABABC全等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1)﹣4,6;(2c+d=2的值不變,值為2;(3)(﹣6,2)或(4,2)或(2,﹣2).

【解析】

1)先過點CCEy軸于E,證△AEC≌△BOA,推出CE=OA=4,AE=BO=2,即可得出點C的坐標;

2)先過點CCEy軸于E,證△AEC≌△BOA,推出CE=OA=aAE=BO=2,可得OE=a+2,即可得出點C的坐標為(﹣a,a+2),據(jù)此可得c+d的值不變;

3)分為三種情況討論,分別畫出符合條件的圖形,構(gòu)造直角三角形,證出三角形全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出答案.

1)如圖1,過點CCEy軸于E,則∠CEA=AOB

∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BA,∠BAC=90°,∴∠ACE+CAE=90°=BAO+CAE,∴∠ACE=BAO

在△ACE和△BAO中,∵,∴△ACE≌△BAOAAS),∴BO=AE,AO=CE

B(﹣20),A04),∴BO=AE=2,AO=CE=4,∴OE=4+2=6,∴C(﹣4,6).

故答案為:﹣4,6;

2)動點A在運動的過程中,c+d=2的值不變,值為2.證明如下:

如圖1,過點CCEy軸于E,則∠CEA=AOB

∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BA,∠BAC=90°,∴∠ACE+CAE=90°=BAO+CAE,∴∠ACE=BAO

在△ACE和△BAO中,∵,∴△ACE≌△BAOAAS),∴BO=AEAO=CE

B(﹣2,0),A0,a),∴BO=AE=2,AO=CE=a,∴OE=2+a,∴C(﹣a,2+a).

又∵點C的坐標為(cd),∴c+d=a+2+a=2,即c+d=2,值不變;

3)存在一點P,使△PAB與△ABC全等,分為三種情況:

①如圖2,過PPEx軸于E,則∠PBA=AOB=PEB=90°,∴∠EPB+PBE=90°,∠PBE+ABO=90°,∴∠EPB=ABO

在△PEB和△BOA中,∵,∴△PEB≌△BOAAAS),∴PE=BO=2EB=AO=4,∴OE=2+4=6,即P的坐標是(﹣6,2);

②如圖3,過CCMx軸于M,過PPEx軸于E,則∠CMB=PEB=90°.

∵△CAB≌△PAB,∴∠PBA=CBA=45°,BC=BP,∴∠CBP=90°,∴∠MCB+CBM=90°,∠CBM+PBE=90°,∴∠MCB=PBE

在△CMB和△BEP中,∵,∴△CMB≌△BEPAAS),∴PE=BM,CM=BE

C(﹣4,6),B(﹣2,0),∴PE=2,OE=BEBO=62=4,即P的坐標是(4,2);

③如圖4,過PPEx軸于E,則∠BEP=AOB=90°.

∵△CAB≌△PBA,∴AB=BP,∠CAB=ABP=90°,∴∠ABO+PBE=90°,∠PBE+BPE=90°,∴∠ABO=BPE

在△BOA和△PEB中,∵,∴△BOA≌△PEBAAS),∴PE=BO=2,BE=OA=4,∴OE=BEBO=42=2,即P的坐標是(2,﹣2).

綜合上述:符合條件的P的坐標是(﹣62)或(4,2)或(2,﹣2).

練習冊系列答案
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