Question

已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=1，且過點A（3，0）與B（0，

3

2

），則下列說法中正確的是（　�。�
①當0≤x≤2

2

+1時，函數(shù)有最大值2；
②當0≤x≤2

2

+1時，函數(shù)有最小值-2；
③點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，則△PAB面積的最大值為

3

2

；
④對于非零實數(shù)m，當x＞1+

1

m

時，y都隨著x的增大而減�。�

• A、④
• B、①②
• C、③④
• D、①②③

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）²+b，然后將點A、B的坐標代入求出a、b，從而得到拋物線解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性誤差最大值和最小值，判斷出①②正確，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出直線AB的解析式，設(shè)過點P與y軸平行的直線與直線AB相交于點Q，表示出PQ，再利用三角形的面積公式列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；再根據(jù)二次函數(shù)的增減性分m是正數(shù)和負數(shù)兩種情況討論求解．

解答：解：∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=1，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²+b，
∴把點A（3，0）與B（0，

3

2

），代入y=a（x-1）²+b，得

4a+b=0 a+b= 3 2

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

（x-1）²+2，
∵0≤x≤2

2

+1，
∴當x=1時，函數(shù)有最大值2；故①正確，
當x=2

2

+1時，函數(shù)有最小值，最小值=-

1

2

（2

2

+1-1）²+2=-2，故②正確；
如圖，易求直線AB的解析式為y=-

1

2

x+

3

2

，
設(shè)過點P與y軸平行的直線與直線AB相交于點Q，
則PQ=y=-

1

2

（x-1）²+2-（-

1

2

x+

3

2

）=-

1

2

x²+

3

2

x，
所以，△PAB面積=

1

2

×（-

1

2

x²+

3

2

x）×3=-

3

4

（x-

3

2

）²+

27

16

，
所以，當x=

3

2

時，△PAB的面積有最大值

27

16

，故③錯誤；
m＜0時，1+

1

m

＜1，y隨x的增大而減小，
m＞0時，1+

1

m

＞1，y隨x的增大而減大，故④錯誤，
綜上所述，說法正確的是①②．
故選B．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，難點在于③表示出△PAB的面積．