Question

【題目】如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求周長(zhǎng)的最小值；

（3）若動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合，點(diǎn)為⊙上的任意一點(diǎn)，當(dāng)的最大值等于時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）

【解析】

（1）直線y=x-3，令x=0，則y=-3，令y=0，則x=3，故點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為（3，0）、（0，-3），即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)B作直線y=x-3的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接BD交直線y=x-3于點(diǎn)P，直線B′B交函數(shù)對(duì)稱軸與點(diǎn)G，則此時(shí)△BDP周長(zhǎng)=BD+PB+PD=BD+B′B為最小值，即可求解；
（3）如圖2所示，連接PF并延長(zhǎng)交圓與點(diǎn)Q，此時(shí)PQ為最大值，即可求解．

解：（1）直線，令，則，令，則，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為、，

則拋物線的表達(dá)式為：，

則，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：…①；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，

直線交函數(shù)對(duì)稱軸與點(diǎn)，連接，

則此時(shí)周長(zhǎng)為最小值，

，則點(diǎn)，即：，

即點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，

周長(zhǎng)最小值；

（3）如圖2所示，連接并延長(zhǎng)交圓與點(diǎn)，此時(shí)為最大值，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，，

則，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

，

解得：，故點(diǎn)，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線的表達(dá)式為：…②，

聯(lián)立①②并解得：，

故點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：

過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線交于點(diǎn)，

則.