Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象過點（-1，0），頂點為（1，2），則結(jié)論：
①abc＜0；②x=1時，函數(shù)的最大值是2；③a+2b+4c＜0；④2a=-b；⑤2c＞3b．其中
正確的結(jié)論有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開口方向得到a＜0，由拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1，則b=-2a＞0，由拋物線與y軸的交點在x軸上方得c＞0，則可對①進(jìn)行判斷；
由于拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，2），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對②進(jìn)行判斷；
由于x=

1

2

時，y＞0，即

1

4

a+

1

2

b+c＞0，則a+2b+4c＞0，于是可對③進(jìn)行判斷；
根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1可得2a=-b，所以可對④進(jìn)行判斷；
利用拋物線過點（-1，0）得到a-b+c=0，而a=-

1

2

b，則-

1

2

b-b+c=0，變形得到2c=3b，則可對⑤進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正確；
∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，2），
∴x=1時，函數(shù)有大值2，所以②正確；
∵x=

1

2

時，y＞0，即

1

4

a+

1

2

b+c＞0，
∴a+2b+4c＞0，所以③錯誤；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
∴2a=-b，所以④正確；
∵拋物線過點（-1，0），
∴a-b+c=0，
而a=-

1

2

b，
∴-

1

2

b-b+c=0，
∴2c=3b，所以⑤錯誤．
故選C．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．