【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D(12),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)(3,0)(2,0)之間,其部分圖象如圖,則以下結(jié)論:①b24ac0;②a+b+c0;③ca=2;④方程ax2+bx+c2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.其中正確結(jié)論是________.

【答案】②③④

【解析】

由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b24ac>0;有拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,則根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)和(1,0)之間,所以當(dāng)x=1時(shí),y<0,則a+b+c<0;由拋物線的頂點(diǎn)為D-1,2)得a-b+c=2,由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=-1b=2a,所以c-a=2;根據(jù)二次函數(shù)的最大值問(wèn)題,當(dāng)x=-1時(shí),二次函數(shù)有最大值為2,即只有x=-1時(shí),ax2+bx+c=2,所以說(shuō)方程ax2+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),

b24ac>0,所以①錯(cuò)誤;

∵頂點(diǎn)為D(1,2),

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,

∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)(3,0)(2,0)之間,

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)(1,0)之間,

∴當(dāng)x=1時(shí),y<0,

a+b+c<0,所以②正確

∵拋物線的頂點(diǎn)為D(1,2),

ab+c=2,

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x==1

b=2a,

a2a+c=2,即ca=2,所以③正確;

∵當(dāng)x=1時(shí),二次函數(shù)有最大值為2,

即只有x=1時(shí), ax2+bx+c=2,

∴方程ax2+bx+c2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以④正確

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