【題目】閱讀下列材料,并按要求解答.

(模型介紹)

如圖①,C是線段A、B上一點E、FAB同側(cè),且∠A=B=ECF=90°,看上去像一個“K“,我們稱圖①為“K”型圖.

(性質(zhì)探究)

性質(zhì)1:如圖①,若EC=FC,ACE≌△BFC

性質(zhì)2:如圖①,若EC≠FC,ACE~BFC且相似比不為1.

(模型應(yīng)用)

應(yīng)用1:如圖②,在四邊形ABCD中,∠ADC=90°,AD=1,CD=2,BC=2,AB=5.求BD.

應(yīng)用2:如圖③,已知△ABC,分別以AB、AC為邊向外作正方形ABGF、正方形ACDE,AHBC,連接EF.交AH的反向延長線于點K,證明:KEF中點.

(1)請你完成性質(zhì)1的證明過程;

(2)請分別解答應(yīng)用1,應(yīng)用2提出的問題.

【答案】(1)證明見解析;(2)應(yīng)用1: BD=4;應(yīng)用2:證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)AAS即可證明;

(2)①應(yīng)用1:如圖2中,連接AC,作BHDCDC的延長線與H.首先證明符合“k模型,利用性質(zhì)2根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

②應(yīng)用2:如圖③中,作FMKHM,ENHNN.由性質(zhì)1可知:ABH≌△FAM,AHC≌△ENA,推出FM=AH,AH=EN,推出FM=EN,再證明FKN≌△EKN即可解決問題.

(1)如圖①中,

∵∠A=ECF=B=90°,

∴∠ACE+BCF=90°,BCF+F=90°,

∴∠ACE=F,EC=CF,

∴△ACE≌△BFC.

(2)①應(yīng)用1:如圖2中,連接AC,作BHDCDC的延長線與H.

RtADC中,∵∠ADC=90°,AD=1,CD=2,

AC=,

AC2+BC2=5+20=25,AB2=52=25,

AC2+BC2=AB2,

∴∠ACB=90°,

∴∠ADC=ACB=CHB=90°,

∴符合“K”型圖,

∴△ACD∽△CBH,

,

,

CH=2,BH=4,

DH=4,

RtBDH中,BD==4

應(yīng)用2:如圖③中,作FMKHM,ENHNN,

由性質(zhì)1可知:△ABH≌△FAM,AHC≌△ENA,

FM=AH,AH=EN,

FM=EN,

∵∠FKM=EKN,M=ENK=90°,

∴△FKN≌△EKN,

FK=KE,

KEF中點.

練習(xí)冊系列答案
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