Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）．

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段PM長度的最大值；
（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點(diǎn)Q，使△BDQ中BD邊上的高為2 ？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4，

∵點(diǎn)B（3，0）在該拋物線的圖象上，

∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，

∵點(diǎn)D在y軸上，令x=0可得y=3，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx+3，

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直線BD解析式為y=﹣x+3

（2）

解：設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m（m＞0），則P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），

∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)m= 時(shí)，PM有最大值

（3）

解：如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E，作QH⊥BD于H，

設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），則G（x，﹣x+3），

∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°，

∴∠HGQ=∠BGE=45°，

當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為2 時(shí)，即QH=HG=2 ，

∴QG= ×2 =4，

∴|﹣x2+3x|=4，

當(dāng)﹣x2+3x=4時(shí)，△=9﹣16＜0，方程無實(shí)數(shù)根，

當(dāng)﹣x2+3x=﹣4時(shí)，解得x=﹣1或x=4，

∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（﹣1，0）或（4，﹣5）

【解析】（1）可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，由B點(diǎn)坐標(biāo)可求得拋物線的解析式，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BD解析式；（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PM的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；（3）過Q作QG∥y軸，交BD于點(diǎn)G，過Q和QH⊥BD于H，可設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關(guān)于Q點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．