Question

先觀察下列等式，再回答下列問題：
①

1+ 1 12 + 1 22

=1+

1

1

-

1

1+1

=1

1

2

；
②

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

2+1

=1

1

6

；
③

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

3+1

=1

1

12

．
（1）請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想

1+ 1 42 + 1 52

的結(jié)果，并驗證；
（2）請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用含n的式子表示的等式（n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）從三個式子中可以發(fā)現(xiàn)，第一個加數(shù)都是1，第二個加數(shù)是個分?jǐn)?shù)，設(shè)分母為n，第三個分?jǐn)?shù)的分母就是n+1，結(jié)果是一個帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子也是1，分母是前項分?jǐn)?shù)的分母的積．所以由此可計算給的式子；
（2）根據(jù)（1）找的規(guī)律寫出表示這個規(guī)律的式子．

解答：解：
（1）

1+ 1 42 + 1 52

=1+

1

4

-

1

4+1

=1

1

20

，
驗證：

1+ 1 42 + 1 52

=

1+ 1 16 + 1 25

=

1+ 25 400 + 16 400

=

441 400

=1

1

20

；

（2）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

=1+

1

n(n+1)

（n為正整數(shù)）．

點評：此題是一個閱讀題目，通過閱讀找出題目隱含條件．總結(jié)：找規(guī)律的題，都要通過仔細(xì)觀察找出和數(shù)之間的關(guān)系，并用關(guān)系式表示出來．