(2001•天津)已知:在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=4cm,AB=8cm,D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點.若P為AB邊上的一個動點,PQ∥BC,且交AC于點Q,以PQ為一邊,在點A的異側(cè)作正方形PQMN,記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y.
(1)如圖,當AP=3cm時,求y的值;
(2)設(shè)AP=xcm,試用含x的代數(shù)式表示y(cm2);
(3)當y=2cm2時,試確定點P的位置.

【答案】分析:(1)先根據(jù)AP的長,求出PQ的值,然后看看正方形與矩形是否重合,若重合求出重合部分的線段的長,然后根據(jù)矩形的面積計算公式進行求解即可.
(2)要分四種情況進行討論:
①當N在D點或D點左側(cè)時,當正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時,利用相似三角形的性質(zhì)可得出x=,即0<x≤時,此時正方形與矩形沒有重合,因此y=0;
②當N在D點右側(cè),而P點在D點左側(cè)或與D點重合時,即<x≤4,此時正方形與矩形重合的面積應(yīng)該是以DN為長,NM為寬的矩形,DN=PN-PD=PN-(AD-AP)=x-(4-x)=x-4.而NM=PQ=x,因此重合部分的面積應(yīng)該是y=(x-4)×x=x2-2x;
③當P在D點右側(cè),而N點在B點左側(cè)或與B點重合時,即4<x≤時,此時正方形重合部分的面積應(yīng)該是以正方形邊長為長,DE為寬的矩形的面積,PN=x,DE=2,因此此時重合部分的面積是y=x×2=x;
④當P在B左側(cè)時,而N點在AB延長線上時,即<x<8時,此時重合部分的面積應(yīng)該是以DE長為寬,PA長為長的矩形的面積.BP=AB-AP=8-x,BF=DE=2,因此此時重合部分的面積應(yīng)該是y=(8-x)×2=16-2x.
(3)將y=2代入(2)的式子中,看看求出的x哪個符合條件即可.
解答:解:(1)由于D是AB中點,因此DE是△ABC的中位線,AD=BD=4cm,DE=2cm,
Rt△APQ中,AP=3cm,因此PQ=AP•tanA=3×=1.5cm,
DN=AN-AD=AP+PN-AD=3+1.5-4=0.5,因此重合部分的面積應(yīng)該是y=DN×MN=1.5×0.5=0.75cm2;

(2)當0<x≤,y=0;
<x≤4,y=,
當4<x≤,y=x;
<x<8,y=16-2x;

(3)當<x≤4時,如果y=2,2=,解得x=或x=(舍去);
當4<x≤時,如果y=2,x=2,也不符合題意,
<x<8時,如果y=2,2=16-2x,解得x=7,因此當AP=7cm時,y=2cm2
∴當x=7cm或x=cm時,y=2cm2
點評:本題主要考查了直角三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),中位線定理以及解直角三角形的應(yīng)用等知識點,要注意(2)(3)中,正方形的位置不同時,函數(shù)解析式是不同的,要分類討論,不要漏解.
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