(2001•天津)已知:在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=4cm,AB=8cm,D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn).若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PQ∥BC,且交AC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊,在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形PQMN,記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y.
(1)如圖,當(dāng)AP=3cm時(shí),求y的值;
(2)設(shè)AP=xcm,試用含x的代數(shù)式表示y(cm2);
(3)當(dāng)y=2cm2時(shí),試確定點(diǎn)P的位置.

【答案】分析:(1)先根據(jù)AP的長(zhǎng),求出PQ的值,然后看看正方形與矩形是否重合,若重合求出重合部分的線段的長(zhǎng),然后根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.
(2)要分四種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)N在D點(diǎn)或D點(diǎn)左側(cè)時(shí),當(dāng)正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時(shí),利用相似三角形的性質(zhì)可得出x=,即0<x≤時(shí),此時(shí)正方形與矩形沒有重合,因此y=0;
②當(dāng)N在D點(diǎn)右側(cè),而P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)或與D點(diǎn)重合時(shí),即<x≤4,此時(shí)正方形與矩形重合的面積應(yīng)該是以DN為長(zhǎng),NM為寬的矩形,DN=PN-PD=PN-(AD-AP)=x-(4-x)=x-4.而NM=PQ=x,因此重合部分的面積應(yīng)該是y=(x-4)×x=x2-2x;
③當(dāng)P在D點(diǎn)右側(cè),而N點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)或與B點(diǎn)重合時(shí),即4<x≤時(shí),此時(shí)正方形重合部分的面積應(yīng)該是以正方形邊長(zhǎng)為長(zhǎng),DE為寬的矩形的面積,PN=x,DE=2,因此此時(shí)重合部分的面積是y=x×2=x;
④當(dāng)P在B左側(cè)時(shí),而N點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上時(shí),即<x<8時(shí),此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是以DE長(zhǎng)為寬,PA長(zhǎng)為長(zhǎng)的矩形的面積.BP=AB-AP=8-x,BF=DE=2,因此此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是y=(8-x)×2=16-2x.
(3)將y=2代入(2)的式子中,看看求出的x哪個(gè)符合條件即可.
解答:解:(1)由于D是AB中點(diǎn),因此DE是△ABC的中位線,AD=BD=4cm,DE=2cm,
Rt△APQ中,AP=3cm,因此PQ=AP•tanA=3×=1.5cm,
DN=AN-AD=AP+PN-AD=3+1.5-4=0.5,因此重合部分的面積應(yīng)該是y=DN×MN=1.5×0.5=0.75cm2

(2)當(dāng)0<x≤,y=0;
當(dāng)<x≤4,y=,
當(dāng)4<x≤,y=x;
當(dāng)<x<8,y=16-2x;

(3)當(dāng)<x≤4時(shí),如果y=2,2=,解得x=或x=(舍去);
當(dāng)4<x≤時(shí),如果y=2,x=2,也不符合題意,
當(dāng)<x<8時(shí),如果y=2,2=16-2x,解得x=7,因此當(dāng)AP=7cm時(shí),y=2cm2
∴當(dāng)x=7cm或x=cm時(shí),y=2cm2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直角三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),中位線定理以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),要注意(2)(3)中,正方形的位置不同時(shí),函數(shù)解析式是不同的,要分類討論,不要漏解.
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