Question

【題目】在 中，，．將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接、．

（1）如圖 1，當(dāng)時(shí)，的大小為 　 ；

（2）如圖 2，當(dāng)時(shí)，的大小為 　 ；

（提示：可以作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)）

（3）當(dāng)為 　 ° 時(shí)，可使得的大小與（1）中的結(jié)果相等．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3），，或，．

【解析】

(1)由∠BAC=100，AB=AC，可以確定∠ABC=∠ACB=40，旋轉(zhuǎn)角為α，α=60°時(shí)△ACD是等邊三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度數(shù)，進(jìn)而求得∠CBD的大小；

(2) 作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D/，連接A D/、B D/、C D/，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱的性質(zhì)即可得；

(3)結(jié)合(1)(2)的解題過程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，△ACD是等邊三角形時(shí)，CD在△ABC內(nèi)部時(shí)，CD在△ABC外部時(shí)，求得答案.

解：(1)∵∠BAC=100，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=40，當(dāng)α=60時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60，

∴∠BAD=∠BAC∠DAC=10060=40，

∵AB=AC，AD=AC，

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=(180∠BAD)=70，

∴∠CBD=∠ABD∠ABC=7040=30；

(2)如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D/，連接A D/、B D/、C D/，

∵∠BAC=100，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=40，當(dāng)α=20時(shí)，

∴∠BCD=20，

由旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱的性質(zhì)可知，∠BCD/=∠BCD=20，AC=CD=CD/，

∴△ACD/是等邊三角形，

由(1)可知∠CBD/=30，

∴∠CBD=∠CBD/=30；

(3)①由(1)可知，∠α=60時(shí)可得∠CBD=30；

②由(2)可知，∠α=20時(shí)可得∠CBD=30；

③在圖1中以C為圓心CD為半徑畫圓弧交BD的延長線于點(diǎn)D1，連接CD1，

∵∠CDD1=∠CBD+∠BCD=30+=50，

∴∠DCD1=1802∠CDD1=180100=80，

∴∠α=60+∠DCD1=140；

④在圖2中以C為圓心CD為半徑畫圓弧交BD的延長線于點(diǎn)D2，連接CD2，

∵∠CDD2=∠CBD+∠BCD=30+=50，

∴∠DCD2=1802∠CDD2=180100=80，

∴∠ACD2=∠DCD2-∠ACD=80-20=60，

∴∠α=360-60=300.

綜上所述,α為20、60、140、300時(shí)，∠CBD=30.

故答案為：（1） ；（2） ；（3），，或，．