Question

如圖，△ABC與△A′B′C′的三邊分別為a、b、c與a′、b′、c′，且∠B=∠B′，∠A+∠A′=180°．試證：aa′=bb′+cc′．

Answer 1

證明：作△ABC的外接圓，過C作CD∥AB交圓于D，連接AD和BD，如圖所示．
∵∠A+∠A'=180°=∠A+∠D，
∠BCD=∠B=∠B'，
∴∠A'=∠D，∠B'=∠BCD．
∴△A'B'C'∽△DCB．
有==，
即==．
故DC=，DB=．
又AB∥DC，可知BD=AC=b，BC=AD=a．
從而，由托勒密定理，得
AD•BC=AB•DC+AC•BD，
即a²=c•+b•．
故aa'=bb'+cc'．
分析：因∠B=∠B'，∠A+∠A'=180°，由結(jié)論聯(lián)想到構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形加以證明，故作△ABC的外接圓，過C作CD∥AB交圓于D，連接AD和BD，即可求證△A'B'C'∽△DCB，由托勒密定理，得AD•BC=AB•DC+AC•BD，即可解題．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的證明和相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了托勒密定理的應(yīng)用，本題中求證△A'B'C'∽△DCB是解題的關(guān)鍵．