Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=8k，BC=5k（k為常數(shù)，且k＞0），動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上（點(diǎn)P不與A、B重合），點(diǎn)Q、R分別在BC、DA邊上，且AP：BQ：DR=3：2：1．點(diǎn)A關(guān)于直線PR的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連接PA′、RA′、PQ．

（1）若k=4，PA=15，則四邊形PARA′的形狀是；
（2）設(shè)DR=x，點(diǎn)B關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)為B′點(diǎn)．
①記△PRA′的面積為S1 ， △PQB′的面積為S2 ． 當(dāng)S1＜S2時(shí)，求相應(yīng)x的取值范圍及S2﹣S1的最大值；（用含k的代數(shù)式表示）
②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，判斷點(diǎn)B′能否與點(diǎn)A′重合？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）正方形
（2）

解：①由題意可知，BQ=2x，PA=3x，AR=5k﹣x，BP=8k﹣3x，

∵S1=S△PRA= ARAP= （5k﹣x）3x=﹣ x2+ kx，

S2=S△PQB= BPBQ= （8k﹣3x）2x=﹣3x2+8kx，

由S1＜S2可得，﹣ x2+ ＜﹣3x2+8kx，

∵x＞0，

∴x取值范圍為0＜x＜ k，

∴S2﹣S1=﹣ x2+ kx=﹣ （x﹣ ）2+ k2，

∴當(dāng)x= 時(shí)，S2﹣S1有最大值，最大值為 k2．

②點(diǎn)B'不能與點(diǎn)A'重合．理由如下：如圖，

假設(shè)點(diǎn)B'與點(diǎn)A'重合，則有∠APR+∠A'PR+∠B'PQ+∠BPQ=180°，

由對(duì)稱的性質(zhì)可得，∠A'PR=∠APR，∠B'PQ=∠BPQ，

∴∠APR+∠BPQ= ×180°=90°，

由∠A=90°可得，∠APR+∠PRA=90°，

∴∠PRA=∠BPQ，

又∵∠A=∠B=90°

∴Rt△PAR∽R(shí)t△QBP，

∴ ，即PABP=ARQB．

∴3x（8k﹣3x）=（5k﹣x）2x，解得，x1=0（不合題意舍去），x2=2k，

又∵PA=PA'，PB=PB'=PA'，

∴PA=PB，

∴3x=8k﹣3x，解得x= k≠2k，

故點(diǎn)B'不能與點(diǎn)A'重合．

【解析】解：（1）∵k=4，PA=15，AP：BQ：DR=3：2：1，
∴DR=5，BC=AD=20，AR=AP=15，
∵A、A′關(guān)于PR對(duì)稱，
∴RA=RA′=PA=PA′，
∴四邊形PARA′是菱形，
∵∠A=90°，
∴四邊形PARA′是正方形．
故答案為正方形；
（1）先證明四邊形PARA′是菱形，再根據(jù)∠A=90°，可以推出四邊形PARA′是正方形．（2）①分別求出S1 ， S2 ， 根據(jù)S1＜S2 ， 確定自變量取值范圍，再構(gòu)建S2﹣S1關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
②點(diǎn)B'不能與點(diǎn)A'重合，利用反證法即可證明．