Question

設(shè)方程組

y2-x-1=0 x=3y+m

的解是

x=x1 y=y1

，

x=x2 y=y2

，x₁≠x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使點(diǎn)（x₁，y₁）和點(diǎn)（x₂，y₂）在同一反比例函數(shù)的圖象上？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將x=3y+m代入上面的方程，根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍．
（2）先假設(shè)點(diǎn)（x₁，y₁）和點(diǎn)（x₂，y₂）在同一反比例函數(shù)的圖象上，用反證法證明即可．

解答：解：（1）y²-3y-m-1=0，∵x₁≠x₂，x=3y+m，
∴y₁≠y₂∴△=3²+4（m+1）＞0，∴m＞-

13

4

（5分）
（2）不存在．
∵點(diǎn)（x₁，y₁）和點(diǎn)（x₁，y₁）在同一反比例函數(shù)的圖象上在
∴x₁y₁=x₂y₂，∴y₁（3y₁+m）=y₂（3y₂+m），
∴（y₁-y₂）[3（y₁+y₂）+m]=0，∵y₁≠y₂，
∴3（y₁+y₂）+m=0，∴m=-9，（5分）
不存在
注：無∵x₁≠x₂，x=3y+m，∴y₁≠y₂扣（2分）

點(diǎn)評：本題主要考查高次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．