Question

7．已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A（-1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，連接AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BD，求∠DBC的正切值；
（3）點P是線段CB上一動點，過點P作BC的垂線交直線BD于點E，直線PE交直線AC于Q，交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作x軸的平行線與射線AC交于點G，交y軸于點H，當(dāng)AQ=GQ時，求點M坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將A，B兩點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+3，得到關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可；
（2）利用配方法求出頂點D的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，然后利用三角函數(shù)定義求出∠DBC的正切值；
（3）作出圖形，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=3x+3，可設(shè)Q點坐標(biāo)為（a，3a+3），由Q是AG的中點，得出點G縱坐標(biāo)為6a+6，點M坐標(biāo)為（4a+3，6a+6），根據(jù)點M是拋物線上的點即可求得a的值，進(jìn)而求出點M坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標(biāo)為（1，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC²=（0-3）²+（3-0）²=18，
CD²=（1-0）²+（4-3）²=2，
BD²=（1-3）²+（4-0）²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$=$\frac{1}{3}$；

（3）如圖，

∵A（-1，0），C（0，3），B（3，0），
∴直線AC的解析式為y=3x+3，直線BC的解析式為y=-x+3．
∵直線PE，AC交于點Q，
∴可設(shè)Q點坐標(biāo)為（a，3a+3）．
∵PQ⊥BC，
∴直線PQ的斜率為1，且直線PQ過點Q（a，3a+3），
∴直線PQ的解析式為y=x+2a+3，
∵AQ=GQ，A（-1，0），Q（a，3a+3），
∴點G縱坐標(biāo)為6a+6，
∵點M是直線PE上的點，
∴點M坐標(biāo)為（4a+3，6a+6），
∵點M是拋物線上點，
∴6a+6=-（4a+3）²+2（4a+3）+3，
解得：a=-$\frac{3}{8}$或a=1（不符合題意舍去），
∴點M坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，兩點間的距離公式，勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)定義，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，互相垂直的兩直線斜率之積為-1，一元二次方程的解法等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．