Question

已知關(guān)于x的函數(shù)y=ax²+x+1（a為常數(shù)）．
（1）若函數(shù)的圖象與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值；
（2）若函數(shù)的圖象是與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)的拋物線y，有一直線y經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)和（0，-1），求y₁、y₂的解析式，并求出當(dāng)x取什么范圍時(shí)，y₁＞y₂．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a≠0時(shí)，圖象與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則△=0，
即1-4a=0，解得a=；
故a=0或者a=．

（2）根據(jù)（1）中a的值，二次函數(shù)解析式為y₁=x²+x+1；
配方得，y=（x+2）²，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）．
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
將（0，-1）和（-2，0）分別代入解析式得，
，
解得，故函數(shù)解析式為y₂=-x-1．

（3）將兩函數(shù)組成方程組得，，
解得，，
可見(jiàn)x小于-4或x大于-2時(shí)，y₁＞y₂．
分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則△=0，據(jù)此，解出a的值即可；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，求出二次函數(shù)解析式，從而求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線解析式，然后即可求出y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟悉根的判別式及待定系數(shù)法以及函數(shù)與方程的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．