Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與x軸的正半軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D，連接BC、BD，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得∠PCB=∠CBD？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：根據(jù)題意得出A，B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而得出△BCD是直角三角形，再過B點(diǎn)作BE垂直于BC，連接EC，且BE=

2

，求出△ECB≌△DBC（SAS），進(jìn)而得出EC直線解析式，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：連接DC，
當(dāng)y=0則0=-x²+2x+3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
當(dāng)x=0，則y=3，
故A（-1 0），B（3 0），C（0 3），
y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
故D（1 4），
因此BC=

32+32

=

18

=3

2

，
BD=

42+22

=2

5

，CD=

12+12

=

2

，
故CD²+BD²=BC²，
因此滿足△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，
過B點(diǎn)作BE垂直于BC，連接EC，且BE=

2

，
∵CO=OB=3，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
故∠EBx=45°，
則E（4 1），
在△ECB和△DBC中，

BE=CD ∠DCB=∠CBE BE=CB

，
∴△ECB≌△DBC（SAS），
此時CE與拋物線的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P，
設(shè)直線EC的解析式為：y=kx+b，
則

b=3 4k+b=1

，
解得：

k=-0.5 b=3

．
則EC直線解析式為：y=-0.5x+3，
故-0.5x+3=-x²+2x+3，
解得：x₁=0（不合題意舍去），x₂=2.5，
則y=1.75，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2.5 1.75）．

點(diǎn)評：此題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)求法等知識，求出EC解析式是解題關(guān)鍵．