【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,D是⊙O上的一點(diǎn),且AD∥CO.
(1)求證:△ADB∽△OBC;
(2)連結(jié)CD,試說明CD是⊙O的切線;
(3)若AB=2, ,求AD的長.(結(jié)果保留根號)

【答案】
(1)∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,

∵BC是⊙O的切線,

∴∠OBC=90°,

∵AD∥CO,

∴∠A=∠BOC,

∴△ADB∽△OBC


(2)如圖,連接OD,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,

∵AD∥CO,

∴∠DFO=90°,

∵∠ODB=∠OBD,

∴∠DOF=∠BOF,

∵OD=OB,OC=OC,

在△ODC和△OBC中,

∴△ODC≌△OBC(SAS),

∴∠CDO=∠CBO=90°,

∴CD是⊙O的切線


(3)∵AB=2,

∴OB=1,

,

∴OC= =

∵AD∥CO,

∴∠DAB=∠COB,

∵∠ADB=∠OBC=90°,

∴△ADB∽△OBC,

= ,即 =

解得AD=


【解析】(1)運(yùn)用∠A=∠BOC,∠ADB=∠OBC證明即可.(2)連接OD,SAS證明△ODC≌△OBC,得出∠CDO=∠CBO=90°,即可得出CD是⊙O的切線;(3)先求出OB,OC的長,再運(yùn)用△ADB∽△OBC,求出AD的長.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.

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(1)求證:PE是⊙O的切線;
(2)求證:ED平分∠BEP;
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