Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過點和 ，與軸交于另一點，頂點為．

（1）求拋物線的解析式，并寫出點的坐標(biāo)；

（2）如圖，點分別在線段上（點不與重合），且，則能否為等腰三角形？若能，求出的長；若不能，請說明理由；

（3）若點在拋物線上，且，試確定滿足條件的點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）可能，的長為或；（3）當(dāng)時，滿足條件的點的個數(shù)有個，當(dāng)時，滿足條件的點的個數(shù)有個，當(dāng)時，滿足條件的點的個數(shù)有個（此時點在的左側(cè)）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為解方程組即可解決問題．

（2）可能分三種情形①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別求解即可．

（3）如圖2中，連接，當(dāng)點在線段的右側(cè)時，作于，連接．設(shè)，構(gòu)建二次函數(shù)求出的面積的最大值，再根據(jù)對稱性即可解決問題．

（1）由題意：

解得

拋物線的解析式為，

頂點坐標(biāo)．

（2）可能．如圖1，

①當(dāng)時，

，此時與重合，與條件矛盾，不成立．

②當(dāng)時，

又，

，

③當(dāng)時，

，

，

答：當(dāng)的長為或時，為等腰三角形．

（3）如圖2中，連接，當(dāng)點在線段的右側(cè)時，作于，連接．設(shè)

則

時，的面積的最大值為，

當(dāng)點在的右側(cè)時，的最大值，

觀察圖象可知：當(dāng)時，滿足條件的點的個數(shù)有個，

當(dāng)時，滿足條件的點的個數(shù)有個，

當(dāng)時，滿足條件的點的個數(shù)有個（此時點在的左側(cè)）．