Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線OB、AC相交于點D，且BE∥AC，CE∥OB．
（1）求證：四邊形CDBE是菱形；
（2）如果OA=4，OC=3，求出經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）由BE∥AC，CE∥OB結(jié)合平行四邊形的判定定理可得出四邊形CDBE是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)可得出DC=DB，從而得出四邊形CDBE是菱形；
（2）連接DE，交BC于點F，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合線段OA、OC的長度，由此即可得出點E的坐標(biāo)，由點E的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵BE∥AC，CE∥OB，
∴四邊形CDBE是平行四邊形．
又∵四邊形OABC是矩形，
∴OB與AC相等且互相平分，
∴DC=DB．
∴四邊形CDBE是菱形．
（2）解：連接DE，交BC于點F，如圖所示．

∵四邊形CDBE是菱形，
∴BC與DE互相垂直平分．
又∵OA=4，OC=3，
∴EF=DF=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，CF=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴E點的坐標(biāo)為（2，$\frac{9}{2}$）．
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
則k=2×$\frac{9}{2}$=9，
∴經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{9}{x}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)以及菱形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出DC=DB；（2）求出點E的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，求出點的坐標(biāo)，再由點的坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)解析式是關(guān)鍵．