Question

已知：如圖，直角梯形ABCD中AD∥BC，∠A=90°，CD=CB=2AD．點Q是AB邊中點，點P在CD邊上運動，以點P為直角頂點作直角∠MPN，∠MPN的兩邊分別與AB邊、CB邊交于點M、N．
（1）若點P與點D重合，點M在線段AQ上，如圖（1）．求證：

3

MQ-CN=

1

4

BC．
（2）若點P是CD中點，點M在線段BQ上，如圖（2）．線段MQ、CN、BC的數量關系是：

3

3

MQ+CN=

1

4

BC

，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）過點D作DE⊥BC于E，可得四邊形ABED是矩形，根據矩形的對邊相等可得BE=AD，設AD=x，表示出CD=CB=2x，再求出CE=BE，再利用勾股定理列式求出DE，再根據等角的余角相等求出∠DAM=∠EDN，證明Rt△ADM和Rt△EDN相似，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式，然后代入進行計算求出AM、EN的關系，再表示出MQ、CN并代入

3

MQ-CN整理即可得解；
（2）連接PQ，過點D作DE⊥BC于E，過點P作PF⊥BC于F，設AD=x，則CD=CB=2x，根據梯形的中位線平行于底邊并且等于兩底和的一半求出PQ∥AD，PQ=

1

2

（AD+CB），再根據（1）得到DE的長，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PF∥DE，PF=

1

2

DE，根據同角的余角相等求出∠QPM=∠FPN，然后求出△PQM和△PFN相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出MQ和FN的關系，再表示出CN，整理即可得解．

解答：解：（1）如圖1，過點D作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴BE=AD，
設AD=x，則CD=CB=2x，
∵CD=CB=2AD=2x，
∴CE=BE=2x-x=x，
∴在Rt△CDE中，根據勾股定理得，DE=

CD2-CE2

=

(2x)2-x2

=

3

x，
∵∠MPN是直角，
∴∠MDE+∠EDN=90°，
又∵∠ADM+∠MDE=90°，
∴∠DAM=∠EDN，
∴Rt△ADM∽Rt△EDN，
∴

AD

DE

=

AM

EN

，
即

x

3 x

=

AM

EN

，
∴EN=

3

AM，
∵點Q是AB邊中點，
∴AQ=

1

2

AB=

1

2

DE=

3

2

x，
∴MQ=AQ-AM=

3

2

x-AM，
∴

3

MQ-CN=

3

（

3

2

x-AM）-（x-

3

AM）=

3

2

x-

3

AM-x+

3

AM=

1

2

x，
∵CB=2x，
∴

1

2

x=

1

4

BC，
∴

3

MQ-CN=

1

4

BC；

（2）如圖2，連接PQ，過點D作DE⊥BC于E，過點P作PF⊥BC于F，設AD=x，則CD=CB=2x，
∵點P是CD中點，點Q是AB的中點，
∴PQ∥AD，PQ=

1

2

（AD+CB）=

1

2

（x+2x）=

3

2

x，
同（1）可求，DE=

3

x，
∵點P是CD中點，
∴PF∥DE，PF=

1

2

DE=

3

2

x，CF=

1

2

CE=

1

4

x，
又∵∠QPM+∠MPN=∠FPN+∠MPN，
∴∠QPM=∠FPN，
∴△PQM∽△PFN，
∴

PQ

PF

=

MQ

FN

，
即

3 2 x

3 2 x

=

MQ

FN

，
∴FN=

3

3

MQ，
∴CN=CE-FN=

1

2

x-

3

3

MQ，
∵CB=2x，
∴

1

2

x=

1

4

BC，
∴

3

3

MQ+CN=

1

4

BC．
故答案為：

3

3

MQ+CN=

1

4

BC．

點評：本題是相似形綜合題，主要利用了矩形的判定，同角的余角相等的性質，相似三角形的判定與性質，梯形的中位線平行于底邊并且等于兩底和的一半，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，綜合性較強，但難度不大，作出輔助線構造出直角三角形與相似三角形是解題的關鍵．