Question

已知：如圖，△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓切AC于點(diǎn)D．
（1）求證：BC=CD；
（2）若AD=2，DC=3，求⊙O的半徑；
（3）若點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為D′，試探究當(dāng)點(diǎn)D滿足什么條件時(shí)，四邊形DD′BC為菱形．

Answer 1

分析：（1）首先證得CD是圓的切線，根據(jù)切線長定理，即可判斷；
（2）勾股定理得AB的長，然后證明△ADO∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解；
（3）易證四邊形DD′BC是平行四邊形，再加上條件：點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，則四邊形DD′BC為菱形．

解答：解：（1）證明：∵∠B=90°，且OB為⊙O的半徑，
∴CB切⊙O于點(diǎn)B
∵CD切⊙O于點(diǎn)D
∴CD=CB（1分）

（2）連接OD（如圖1），
由（1）得：BC=CD=3．
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=2+3=5
由勾股定理得：AB=4．
∵AC切⊙O于點(diǎn)D，
∴AC⊥OD于點(diǎn)D．
∴∠ADO=∠ABC=90°．
∵∠A=∠A
∴△ADO∽△ABC
∴

AD

AB

=

OD

BC

即

2

4

=

OD

3

∴OD=

3

2

（3分）
∴⊙O的半徑為

3

2

．

（3）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)D為AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形DD′BC為菱形．（4分）
∵AB經(jīng)過圓心O，點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為D′，
∴過點(diǎn)D作DD′⊥AB（如圖2），
，交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)D′
∴DM=D′M=

1

2

DD′，∠AMD=∠B=90°．
∴DD′∥BC．
∴△AMD∽△ABC
∴

DM

BC

=

AD

AC

=

1

2

，∴DM=

1

2

BC
∴BC⊥DD′
∴四邊形DD′BC是平行四邊形．
由（1）知BC=CD
∴四邊形DD′BC為菱形．（5分）

點(diǎn)評：本題主要考查了菱形的判定，并且應(yīng)用了相似三角形的判定與性質(zhì)，是一個(gè)難度較大的題目．