Question

已知拋物線y=-

1

3

x²+bx-

10

3

經(jīng)過點A（7，6），且與x軸交于B、C兩點
（1）求b值及B、C兩點的坐標；
（2）若直線x=t與拋物線交于P，與線段AB交于點Q，試問當t為何值時，線段PQ 的長最長？最長是多少？
（3）若點D是線段AB上任意一點，過點D作DE∥BC，交AC于點E設(shè)ADE的高AF的長為小x，以DE為折痕將△ADE翻折，所得的△A’DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y，當0＜x＜6時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）把點A的坐標（7，6）代入拋物線解析式計算即可求出b的值，然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可寫出點B、C的坐標；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)拋物線的解析式與直線AB的解析式分別求出點P、與點Q的坐標，線段PQ的長就等于點P的縱坐標減點Q的縱坐標，整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可；
（3）因為AH的長度是6，所以①分0＜x≤3時，△A′DE在梯形DBCE內(nèi)部，重疊部分的面積等于△A′DE的面積，②3＜x＜6時，點A′在梯形DBCE的外部，重疊部分是一個梯形，求出DE的長度，△A′DE在x軸上兩交點之間的距離，以及梯形的高，然后根據(jù)梯形的面積公式列式并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題進行求解，綜合兩種情況便不難求出最大面積y．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

3

x²+bx-

10

3

經(jīng)過點A（7，6），
∴-

1

3

×7²+7b-

10

3

=6，
解得b=

11

3

，
∴拋物線解析式是y=-

1

3

x²+

11

3

x-

10

3

，
當y=0時，-

1

3

x²+

11

3

x-

10

3

=0，
解得x₁=1，x₂=10，
∴點B、C的坐標分別為B（1，0），C（10，0）；

（2）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
則

7k+b=6 k+b=0

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直線AB的解析式是y=x-1，
∴點P的坐標為（t，-

1

3

t²+

11

3

t-

10

3

），點Q的坐標是（t，t-1），其中0＜t＜6，
PQ=-

1

3

t²+

11

3

t-

10

3

-（t-1）=-

1

3

t²+

8

3

t-

7

3

=-

1

3

（t-4）²+3，
∴當t=4時，線段PQ有最長值，最長值為3；

（3）①0＜x≤3時，如圖，延長AF交x軸與H，
△A′DE在梯形DBCE內(nèi)部，重疊部分的面積等于△A′DE的面積
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AF

AH

=

DE

BC

，
即

x

6

=

DE

10-1

，
解得DE=

3

2

x，
∴重疊部分的面積y=S_△A′DE=

1

2

DE•AF=

1

2

×

3

2

x×x=

3

4

x²，（0＜x≤3），
∴當x=3時，y有最大值，最大值y=

3

4

×3²=

27

4

，
②當3＜x＜6時，點A′在梯形DBCE的外部，重疊部分是一個梯形，如右圖，
FH=AH-AF=6-x，A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6，
∵DE∥BC，
∴△A′MN∽△A′DE，
∴

A′H

A′F

=

MN

DE

，
即

2x-6

x

=

MN

3 2 x

，
解得MN=3x-9，
∴重疊部分的面積y=S_梯形MNED=

1

2

（MN+DE）•FH=

1

2

（3x-9+

3

2

x）（6-x）=

9

4

（x-4）²+9，（3＜x＜6），
當x=4時，y有最大值，最大值y=9，
9＞

27

4

，
綜上所述，當x=4時，△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積y有最大值，最大值是9．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形面積的計算方法、三角形相似、函數(shù)圖象交點等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．