Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在線段AB上沿AB方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段BC上沿BC方向作勻速運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s．
（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為

1

2

cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，△DPQ的面積為S，請(qǐng)你求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)△DPQ的面積最小時(shí)，求BQ的長(zhǎng)；
（3）在（1）的條件下，當(dāng)△DAP和△PBQ相似時(shí)，求BQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，用時(shí)間t的代數(shù)式分別表示出AP、BQ、BP、BQ的長(zhǎng)，再根據(jù)S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ即可得出關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）可知，S是t的二次函數(shù)，運(yùn)用配方法即可求解；
（3）由于∠PAD=∠PBQ=90°，所以當(dāng)△DAP和△PBQ相似時(shí)，A與B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠ADP=∠BPQ時(shí)，△ADP∽△BPQ，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例關(guān)系式，求出此時(shí)t的值．進(jìn)而求出BQ的長(zhǎng)；
②當(dāng)∠APD=∠BPQ時(shí)，△APD∽△BPQ，按照①的方法求t的值即可．

解答：解：（1）連接DQ．
S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ
=10×6-

1

2

×6t-

1

2

×（10-t）•

1

2

t-

1

2

×10•（6-

1

2

t）
=60-3t-

5

2

t+

1

4

t²-30+

5

2

t
=

1

4

t²-3t+30；

（2）∵S_△DPQ=

1

4

t²-3t+30=

1

4

（t-6）2+21，
∴當(dāng)t=6時(shí)，S_△DPQ最小，此時(shí)BQ=3cm；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)∠ADP=∠BPQ時(shí)，△ADP∽△BPQ，
則

AD

BP

=

AP

BQ

，即

6

10-t

=

t

1 2 t

，
解得：t=7，
當(dāng)t=7時(shí)，BQ=3.5cm；
②當(dāng)∠APD=∠BPQ時(shí)，△APD∽△BPQ，

AP

BP

=

AD

BQ

，

t

10-t

=

6

1 2 t

，
t²+12t-120=0，
解得：t₁=-6+2

39

，t₂=-6-2

39

（不合題意，舍去）
當(dāng)t=-6+2

39

時(shí)，BQ=

39

-3；
綜上可知，當(dāng)△DAP和△PBQ相似時(shí)，BQ的長(zhǎng)為3.5cm或（

39

-3）cm．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要注意最后一問(wèn)中，要分對(duì)應(yīng)角的不同來(lái)得出不同的對(duì)應(yīng)線段成比例，從而得出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．不要忽略掉任何一種情況．