Question

如圖，AB是半圓O的直徑，過點(diǎn)O作弦AD的垂線交半圓O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)C，使∠C=∠BED．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若OC=2，AC=OA，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠AOC+∠2=90°，∠C=∠BED=∠2，得出∠AOC+∠C=90°利用切線的判定定理，即可得出AC與⊙O相切；
（2）利用圓周角定理得出∠ADB=90°，利用OC=2，AC=OA，得出AO，AC，AB的長，進(jìn)而得出AD=ABcos30°得出答案即可．
解答：（1）AC與⊙O相切．
證明：∵OC⊥AD，
∴∠AOC+∠2=90°．
又∵∠C=∠BED=∠2，
∴∠AOC+∠C=90°．
∴AB⊥AC，
因此AC與⊙O相切．

（2）解：連接BD．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°
在Rt△AOC中，∠CAO=90°，
∵CO=2，AC=，
∴OA=1，AC=，AB=2，∠2=∠C=30°，
在Rt△ABD中
AD=ABcos30°=2×=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定定理以及圓周角定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出正確輔助線構(gòu)造直徑所對(duì)圓周角是解題關(guān)鍵．