Question

 如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=x²+2x與x軸相交于O、B，頂點為A，連接OA． 
(1)A的坐標              ，∠AOB=              。
(2)若將拋物線y=x²+2x向右平移4個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線m，其頂點為點C．連接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′．試判斷其形狀，并說明理由； 
(3)在(2)的情況下，判斷點C′是否在拋物線y=x²+2x上，請說明理由； 
(4)若點P為x軸上的一個動點，試探究在拋物線m上是否存在點Q，使以點O、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，且OC為該四邊形的一條邊？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 

Answer 1

（1）（-2，-2）；45°（2分）(2)四邊形ACOC′為菱形．（1分） 
由題意可知拋物線m的二次項系數(shù)為，且過頂點C的坐標是(2，﹣4)， 
∴拋物線的解析式為：y=(x﹣2)²﹣4，即y=x²﹣2x﹣2，（1分） 
過點C作CE⊥x軸，垂足為E；過點A作AF⊥CE，垂足為F，與y軸交與點H， 
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2， 
∴OC===2， 
同理，AC=2，OC=AC， 
由反折不變性的性質(zhì)可知，OC=AC=OC′=AC′， 
故四邊形ACOC′為菱形．（1分）（共3分） 
(3)如圖1，點C′不在拋物線y=x²+2x上．（1分） 
理由如下： 
過點C′作C′G⊥x軸，垂足為G， 
∵OC和OC′關(guān)于OA對稱，∠AOB=∠AOH=45°， 
∴∠COH=∠C′OG， 
∵CE∥OH， 
∴∠OCE=∠C′OG， 
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′， 
∴△CEO≌△C′GO， 
∴OG=4，C′G=2， 
∴點C′的坐標為(﹣4，2)，（1分） 
把x=﹣4代入拋物線y=x²+2x得y=0， 
∴點C′不在拋物線y=x²+2x上；（1分）（共3分） 
(4)存在符合條件的點Q． 
∵點P為x軸上的一個動點，點Q在拋物線m上， 
∴設(shè)Q(a，(a﹣2)²﹣4)， 
∵OC為該四邊形的一條邊， 
∴OP為對角線， 
∴=0，解得x₁=6，x₂=4， 
∴P(6，4)或(﹣2，4)(舍去)， 
∴點Q的坐標為(6，4)． （直接寫出即可，2分，多寫1個只得1分）

文瀾中學的難度系數(shù)約0.76，全杭州市的難度系數(shù)約0.63