Question

已知二次函數(shù)y=a(x-m)²-2a(x-m)（a,m為常數(shù)，且a≠0）.

（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，求a的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1)二次函數(shù)和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，判別式>0即可；

（2）先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，由△ABC是等腰直角三角形，可以得出AB邊上高等于1，即可得出a的值.

試題解析：

（1）證明：y=a(x-m)²-2a(x-m)=ax²-(2am+2a)x+am²+2am

當(dāng)a≠0時(shí),=（2am+2a）²-4a(am²+2am)

∵

∴

∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

（2）y=a(x-m)²-2a(x-m)=a(x-m-1)²-a

∴C(m+1,-a)

當(dāng)y=0時(shí)，

解得x₁=m，x₂=m+2.

∴AB=（m+2）-m=2.

當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，可求出AB邊上高等于1．

∴．

∴．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.