【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分別為△ABC三邊的長.
(1)如果x=-1是方程的根,試判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.
【答案】(1)△ABC是等腰三角形,理由見解析;(2)△ABC是直角三角形.理由見解析.
【解析】
試題(1)由方程解的定義把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0,即a=b,于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形;
(2)由判別式的意義得到△=0,整理得,然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形.
試題解析:解:(1)△ABC是等腰三角形.理由如下:
∵x=﹣1是方程的根,∴(a+c)×1﹣2b+(a﹣c)=0,∴a+c﹣2b+a﹣c=0,∴a﹣b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵方程有兩個相等的實數(shù)根,∴△=,∴,∴,∴△ABC是直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:各類方程的解法
求解一元一次方程,根據(jù)等式的基本性質(zhì),把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.求解二元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解;類似的,求解三元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程,把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.求解分式方程,把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解,由于“去分母”可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同,但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化,把未知轉(zhuǎn)化為已知.
用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,我們還可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2﹣2x=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x(x2+x﹣2)=0,解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得方程x3+x2﹣2x=0的解.
(1)問題:方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0,x2=________,x3=________;
(2)拓展:用“轉(zhuǎn)化”思想求方程=x的解;
(3)應(yīng)用:如圖,已知矩形草坪ABCD的長AD=8m,寬AB=3m,小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B,沿草坪邊沿BA,AD走到點P處,把長繩PB段拉直并固定在點P,然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處,把長繩剩下的一段拉直,長繩的另一端恰好落在點C.求AP的長.
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【題目】如圖,△ABC是邊長為5cm的等邊三角形,點P,Q分別從頂點A,B同時出發(fā),沿線段AB,BC運動,且它們的速度都為1cm/s.當點P到達點B時,P,Q兩點停止運動,設(shè)點P的運動時間為t(s).
(1)當t為何值時,△PBQ是直角三角形?
(2)連接AQ、CP,相交于點M,則點P,Q在運動的過程中,∠CMQ會變化嗎?若變化,則說明理由;若不變,請求出它的度數(shù).
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【題目】如圖,拋物線的對稱軸為,與軸的一個交點在和之間,其部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論:
;;點、、是該拋物線上的點,則;;(為任意實數(shù)).
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】某活動小組為了估計裝有個白球和若干個紅球(每個球除顏色外都相同)的袋中紅球接近多少個,在不將袋中球倒出來的情況下,分小組進行摸球試驗,兩人一組,共組進行摸球?qū)嶒灒渲幸晃粚W(xué)生摸球,另一位學(xué)生記錄所摸球的顏色,并將球放回袋中搖勻,每一組做次試驗,匯總起來后,摸到紅球次數(shù)為次.
估計從袋中任意摸出一個球,恰好是紅球的概率是多少?
請你估計袋中紅球接近多少個?
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【題目】如圖,已知點A、B以及直線l,AE⊥l,垂足為點E.
(1)過點B作BF⊥l,垂足為點F;
(2)在直線l上求作一點C,使CA=CB;
(要求:第(1)、(2)小題用尺規(guī)作圖,并在圖中標明相應(yīng)字母,保留作圖痕跡,不寫作法.)
(3)在所作的圖中,連接CA、CB,若∠ACB=90°,求證:△AEC≌△CFB.
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【題目】如圖,已知:在△ABC和△AEF中,點E在BC邊上,AE=AB,AC=AF,∠CAF=∠BAE,EF與AC交于點G.
(1)求證:EF=BC;
(2)若∠ABC=65°.∠ACB=28°,求∠FGC的度數(shù).
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【題目】如圖,點P是∠AOB內(nèi)任意一點,且∠AOB=40°,點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點,當△PMN周長取最小值時,則∠MPN的度數(shù)為( )
A. 140° B. 100° C. 50° D. 40°
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【題目】如圖,△OAC中,以O為圓心,OA為半徑作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于B,垂足為O,連接AB交OC于點D,∠CAD=∠CDA.
(1)判斷AC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若OA=5,OD=1,求線段AC的長.
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