Question

20．如圖，圓形鐵片與直角三角尺、直尺緊靠在一起平放在桌面上．已知鐵片的圓心為O，三角尺的直角頂點(diǎn)C落在直尺的10cm處，鐵片與直尺的唯一公共點(diǎn)A落在直尺的15cm處，鐵片與三角尺的唯一公共點(diǎn)為B，下列說法錯(cuò)誤的是（　　）

• A． 圓形鐵片的半徑是5cm
• B． 四邊形AOBC為正方形
• C． 陰影扇形OAB的面積是⊙O面積的$\frac{1}{4}$
• D． $\widehat{AB}$的長度為$\frac{25}{4}$πcm

Answer 1

分析 由BC，AC分別是⊙O的切線，B，A為切點(diǎn)，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四邊形AOBC是正方形，得到OA=AC=5，故A，B正確；根據(jù)扇形的弧長、面積的計(jì)算公式求出結(jié)果即可判斷C、D的正誤．

解答 解：由題意得：BC，AC分別是⊙O的切線，B，A為切點(diǎn)，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四邊形AOBC是正方形，
∴OA=AC=15-10=5，故A，B說法正確；
∵四邊形AOBC是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴S_扇形OAB=$\frac{1}{4}$S_圓，故C說法正確．
$\widehat{AB}$=$\frac{90×π×5}{180}$=$\frac{5π}{2}$cm，故D說法錯(cuò)誤；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，扇形的弧長、面積的計(jì)算，熟記計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．