Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與直線y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）兩點，拋物線的頂點坐標(biāo)為Q（2，-1）．點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交直線AC于點D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為t，PD的長度為l，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時，點P的坐標(biāo)．
（3）在問題（2）的結(jié)論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F 為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式將Q點代入進而得出拋物線解析式；
（2）首先求出AB所在直線解析式，進而表示出P，D的坐標(biāo)，即可得出PD長度的關(guān)系式，求出P點坐標(biāo)即可；
（3）分別根據(jù)①若AP是平行四邊形的一條邊時，平移直線AP（如圖）交x軸于點E，交拋物線于點F，②當(dāng)AP是平行四邊形的一條對角線時，要使以A、P、E、F 為頂點的平行四邊形，求出F點坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點為Q（2，-1），
∴設(shè)y=a（x-2）²-1，將C（0，3）代入，得：
3=a（0-2）²-1，
解得：a=1．
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）∵直線y=kx+b過（3，0），（0，3），則：

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴AB的解析式為：y=-x+3．
由題意有P（t，t²-4t+3），D（t，-t+3），
∴PD=l=（-t+3）-（t²-4t+3）=-t²+3t，
∴當(dāng)t=

3

2

時，l取最大值，
此時P點的坐標(biāo)為[

3

2

，（

3

2

）²-4×（

3

2

）+3]，
即P（

3

2

，-

3

4

）．

（3）①若AP是平行四邊形的一條邊時，平移直線AP（如圖）交x軸于點E，交拋物線于點F．
此時當(dāng)AP=FE時，四邊形PAFE是平行四邊形．
∵P（

3

2

，-

3

4

），
∴可令F（x，

3

4

）或F（x，-

3

4

）．
∴x²-4x+3=

3

4

或x²-4x+3=-

3

4

，
解之得x₁=

4- 7

2

，x₂=

4+ 7

2

，x₃=

5

2

，x₄=

3

2

．
但當(dāng)x₁=

3

2

時，F(xiàn)點與P點重合，不能構(gòu)成平行四邊形．
滿足條件的F點有三個，即F₁（

4- 7

2

，

3

4

）、F₂（

4+ 7

2

，

3

4

）、F₃（

5

2

，-

3

4

）；
②當(dāng)AP是平行四邊形的一條對角線時，要使以A、P、E、F 為頂點的平行四邊形，
則有PF∥AE，即F₂的縱坐標(biāo)與P點的縱坐標(biāo)相同，即x²-4x+3=-

3

4

，
此種情況在①中已求得F₃的坐標(biāo)．
綜上所述，滿足條件的F點的坐標(biāo)有三個，
即F₁（

4- 7

2

，

3

4

）、F₂（

4+ 7

2

，

3

4

）、F₃

5

2

（，-

3

4

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)以及頂點式求二次函數(shù)解析式等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．