如圖1,已知矩形ABED,點C是邊DE的中點,且AB=2AD.
(1)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)保持圖1中△ABC固定不變,繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中(當垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)),試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關系?并給予證明;
(3)保持圖2中△ABC固定不變,繼續(xù)繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置(當垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)).試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關系?并給予證明.
【答案】分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理,即可判斷△ABC的形狀;
(2)(3)通過證明△ACD≌△CBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可得線段AD、BE、DE長度之間的關系.
解答:解:(1)△ABC是等腰直角三角形.理由如下:
在△ADC與△BEC中,AD=BE,∠D=∠E=90°,DC=EC,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AC=BC,∠DCA=∠ECB.
∵AB=2AD=DE,DC=CE,
∴AD=DC,
∴∠DCA=45°,
∴∠ECB=45°,
∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形.

(2)DE=AD+BE.理由如下:
在△ACD與△CBE中,∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE,∠ADC=∠BEC=90°,AC=BC,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE,DC=EB.
∴DC+CE=BE+AD,
即DE=AD+BE.

(3)DE=BE-AD.理由如下:
在△ACD與△CBE中,∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE,∠ADC=∠BEC=90°,AC=BC,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE,DC=EB.
∴DC-CE=BE-AD,
即DE=BE-AD.
點評:本題考查了等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,綜合性強,難度較大.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

22、如圖1,已知矩形ABED,點C是邊DE的中點,且AB=2AD.
(1)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)保持圖1中△ABC固定不變,繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中(當垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)),試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關系?并給予證明;
(3)保持圖2中△ABC固定不變,繼續(xù)繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置(當垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)).試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關系?并給予證明.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,已知矩形ABCD的頂點A與點O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3;拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E(4,0)
(1)當x取何值時,該拋物線取最大值?該拋物線的最大值是多少?
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動.設它們運動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點為N(如圖2所示).
①當t=
114
時,判斷點P是否在直線ME上,并說明理由;
②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5?若有可能,求出此時N點的坐標;若無可能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,已知矩形OABC中,OC=10,OA=6,在OA、OC邊上選取適當?shù)狞cE、F,將△OEF沿EF對折,使O點落在AB邊上的D點.
(1)當點E取在點A上,得圖2,求出相應的OF的長;
(2)寫出OF的取值范圍;
(3)在如圖1中過點D作DG∥AO交EF于點T,交OC于點G,連接OT,得到圖3
①證明四邊形OEDT是菱形;
②設AD長為x,請你利用所學的函數(shù)及其圖象的有關知識判斷,當x取什么值時,菱形OEDT的周長L取最大值,并求出周長L的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•寶安區(qū)二模)如圖1,已知矩形ABCD中,AB=
4
3
BC
,O是矩形ABCD的中心,過點O作OE⊥AB于E,作OF⊥BC于F,得矩形BEOF.
(1)線段AE與CF的數(shù)量關系是
AE=
4
3
CF;
AE=
4
3
CF;
,直線AE與CF的位置關系是
AE⊥CF
AE⊥CF

(2)固定矩形ABCD,將矩形BEOF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置,連接AE、CF.那么(1)中的結(jié)論是否依然成立?請說明理由;
(3)若AB=8,當矩形BEOF旋轉(zhuǎn)至點O在CF上時(如圖3),設OE與BC交于點P,求PC的長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•下關區(qū)一模)如圖1,已知矩形ABCD中,AB=5,AD=4,點M在線段CD上,連接AM.把矩形沿一條直線EF折疊,使點A與點M重合.

(1)作出直線EF (保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)當直線EF經(jīng)過點B時,連接BM,求△BCM的面積.

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