Question

8．五角星是我們生活中常見的一種圖形，如圖五角星中，點C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點，已知黃金比為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，且AB=2，則圖中五邊形CDEFG的周長為10$\sqrt{5}$-20．

Answer 1

分析 根據(jù)點C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點，可得AC=BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB，BC=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB，再根據(jù)CD=BD-BC求出CD的長度，然后乘以5即可求解．

解答 解：∵點C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點，
∴AC=BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=$\sqrt{5}$-1，BC=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$AB=3-$\sqrt{5}$，
∴CD=BD-BC=（$\sqrt{5}$-1）-（3-$\sqrt{5}$）=2$\sqrt{5}$-4，
∴五邊形CDEFG的周長=5（2$\sqrt{5}$-4）=10$\sqrt{5}$-20．
故答案為10$\sqrt{5}$-20．

點評 本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，則這個點叫這條線段的黃金分割點．